BIBLIOGRAPHIE. 
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dont l’exposé contient la démonstration de plusieurs propositions 
du formulaire de M. Schwarz, a l’avantage, en permettant de 
lever d'une façon très simple toute ambiguïté dans la détermi- 
nation de log.r(ü), de supprimer de gros efforts d’attention, 
immense service rendu à ceux qui ont à manier cette algorithmie 
si délicate. Elle s’applique très élégamment plus loin au problème 
du pendule sphérique. 
La théorie de l’inversion s’ouvre avec le Chapitre VII. Dans 
tout ce qui précède, supposant donnés soit les périodes, soit 
leur rapport, on a appris à construire les diverses fonctions ellip- 
tiques, les constantes y intervenant étant définies soit par des 
produits infinis, soit par des séries. Ce n’est pas ainsi que les 
choses se présentent en réalité. Ce qui est donné ce sont certains 
invariants liés à ces fonctions (coefficients d’équations différen- 
tielles auxquelles elles satisfont), et il s’agit alors de montrer 
qu’il existe des périodes, ou un rapport de périodes, permettant 
de constituer de telles fonctions pour lesquelles les invariants 
en question aient précisément les valeurs données, et cela en 
faisant connaître toutes les solutions du problème. De là, la 
théorie traitée par les auteurs avec infiniment de détail, de 
rigueur et de précision. Divers problèmes, d’une rare difficulté, 
— comme celui qui consiste à obtenir toutes les solutions en k 2 
lorsque r est donné — reçoivent ici des solutions directes ame- 
nant les choses jusqu’au point précis où pourrait intervenir le 
calcul numérique. La nature du recueil où paraissent ces lignes 
nous interdisant certains développements trop purement analy- 
tiques, nous devons nous borner à ces indications un peu vagues 
sur ce morceau capital de l'ouvrage, mais nous 11 e craignons pas 
d’être démenti en avançant que le bel enchaînement de cette 
théorie, la rigueur et la nouveauté des démonstrations sont faits 
pour captiver la faveur des mathématiciens. 
Le problème de l’inversion pour les fonctions sn u et pfu), qui 
fait l’objet du Chapitre Vlli, fournit aux auteurs l’occasion d’éta- 
blir certains développements très convergents qui avaient été 
donnés sans démonstration dans le formulaire de M. Schwarz. 
Le Tome IV s’ouvre avec le Chapitre IX consacré à l’évaluation 
des intégrales portant sur les différentielles qui contiennent en 
dénominateur la racine carrée d’un polynôme du quatrième 
degré, intégrales qui se ramènent, comme on sait, à certaines 
formes normales. 11 y a lieu de signaler à part l’étude de la fonc- 
tion inverse d e p(u), ramenée à un type univoque grâce à des 
coupures convenables. L’identité de la fonction ainsi définie avec 
