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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
donnée pour le rayon de la sphère osculatrice en un point d’une 
courbe gauche (n° 405). 
Les trois derniers chapitres visent la théorie des surfaces. 
Après avoir fait connaître les expressions des infiniment petits 
fondamentaux, éléments d’arc ou d’aire, attachés à une surface 
représentée paramétriquement, M. Humbert en utilise les résul- 
tats pour l'étude de la courbure des surfaces. Il présente ainsi 
les propriétés fondamentales des lignes de courbure et des lignes 
asymptotiques sous la forme la plus générale, la plus propre à 
préparer l’étude des parties élevées de la Géométrie infinitési- 
male. De la façon la plus directe et la plus simple, il établit les 
théorèmes célèbres de Joachimstahl, de Sophus Lie et de Dupin, 
la démonstration du second de ces théorèmes étant particulière- 
ment à signaler aux amateurs de géométrie. Il donne la définition 
des surfaces minima, ainsi que l’équation aux dérivées partielles 
qui la traduit analytiquement, et en effectue l’intégration dans le 
cas particulier des surfaces de révolution, pour lequel, comme 
on sait, la solution est fournie par la caténoïde. Il faut remar- 
quer aussi l’étude purement géométrique, si nette et si simple, 
de la développée d’une surface, aboutissant à la détermination 
de la surface qui. associée à une autre surface, prise au hasard, 
constitue avec elle l’ensemble des deux nappes d’une développée 
de surface. 
La représentation des surfaces les unes sur les autres termine 
le volume La conservation des longueurs (qui entraîne celle des 
angles) conduit an problème des surfaces applicables les unes 
sur les autres, dont M. Humbert établit les équations fondamen- 
tales. A titre d'exemple simple, il démontre le théorème de Bour 
su!’ l’applicabilité des hélicoïdes sur les surfaces de révolution, 
et. après avoir énoncé le théorème général de Gau^s, établit 
rigoureusement l’identité des développables avec les surfaces 
applicables sur un plan. 
Alors que l’applicabilité d’une surface sur une autre exige 
une relation très particulière entre ces surfaces, la représenta- 
tion conforme (correspondance point par point avec conservation 
des angles) peut avoir lieu entre deux surfaces choisies arbitrai- 
rement. Après avoir démontré ce théorème général, l’auteur 
s’attache au cas où l’une des surfaces est un plan, c’est-à-dire 
au cas des cartes géographiques, pour lequel l’ensemble de 
toutes les solutions possibles résulte du beau théorème de Itie- 
mann qui montre l’identité du problème des transformations 
isogonales du plan avec celui de la détermination des fonctions 
