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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
l’espace euclidien à trois dimensions dans un espace, également 
euclidien, à quatre dimensions, où il est retournable et qui 
permet dès lors d’opérer la superposition des figures symé- 
triques. 
L’exposé des thèses de géométrie générale est d'une exacti- 
tude qui mérite presque toujours d’être louée ; mais nous 
croyons devoir relever ce qui nous paraît une erreur, parce qu’il 
s’agit là d’une notion très souvent mal comprise et qui donne 
lien aux plus fâcheux malentendus: il s’agit de la généralisation 
de la notion de courbure. 
En géométrie euclidienne on définit la courbure d’une surface 
par l’inverse du produit des deux rayons de courbure principaux, 
la courbure étant positive ou négative selon que ces deux rayons 
sont de même sens ou de sens opposés. En particulier, s’il s’agit 
de surfaces à courbure constante, on a les sphères à courbure 
positive et les pseudo-sphères à courbure négative. Dans tous 
les cas, si l’on considère deux points d’une surface courbe, il 
existe une droite qui les joint et qui est à la fois extérieure à 
la surface et plus courte que la géodésique les joignant sur la 
surface même. Les rayons de courbure étant d’ailleurs situés 
dans l’espace à trois dimensions, en dehors de la surface, l’idée 
de courbure se trouve toujours associée à celle d’une troisième 
dimension, le plan, surface de courbure nulle, étant seul indépen- 
dant de cette troisième dimension. 
C’est évidemment pénétré de ces notions usuelles que M. Bou- 
cher a dit : “ On a été conduit à supposer que notre espace pour- 
rait peut-être présenter une certaine courbure ; celle-ci serait 
alors nécessairement dans une direction différente des trois 
directions connues ; notre espace se trouverait ainsi contenu dans 
un espace orthogonal d’ordre supérieur, quatrième espace au 
moins, puisque l’idée de courbure d’un espace quelconque im- 
plique toujours une nouvelle dimension au moins, différente de 
celles de l’espace considéré (1) „. 
Nous verrons tout à l’heure qu’une notion étroite de la cour- 
bure a ainsi conduit M. Boucher à une erreur formelle ; mais il 
nous faut montrer brièvement comment on a généralisé la dite 
notion. 
Les rayons de courbure sont menés en dehors de la surface 
dans un espace à trois dimensions la contenant : ils ne peuvent 
donc, en principe, que définir une relation de la surface a cet 
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