BIBLIOGRAPHIE. 
6 1 7 
espace, non une propriété intrinsèque de la dite surface. Mais 
Gauss a montré que la courbure intégrale d’un triangle formé 
sur une surface continue quelconque par trois lignes géodésiques, 
courbure définie d'abord au moyen de constructions à trois 
dimensions, est égale à la somme des angles de ce triangle 
diminuée de deux angles droits. Appliqué à une surface à cour- 
bure constante, ce théorème montre que la courbure en un 
point quelconque est égale au quotient de l’excès angulaire d’un 
triangle quelconque divisé par la surface de ce triangle, la cour- 
bure ayant le même signe que cet excès angulaire. Sans déve- 
lopper davantage (1), nous voyons apparaître une définition 
intrinsèque de la courbure d’une surface, et dès lors on conçoit 
qu’il puisse y avoir, en dehors d’un espace euclidien, des surfaces 
à courbure négative ne présentant rien qui ressemble à des 
rayons de courbure de sens différents. Or c’est précisément ce 
qui a lieu pour les plans de Lobatchevsky et ses hypersphères. 
Non seulement ces surfaces ne sauraient entrer dans un espace 
orthogonal (ou euclidien) à trois dimensions, mais ce sont les 
surfaces de moindre courbure en valeur absolue qui présentent 
au plus haut degré le caractère de surfaces courbes par rapport 
aux autres, et l’horisphère, sphère de rayon infini ou de courbure 
nulle, apparaît encore plus courbe que toutes les hypersphères. 
En d’autres termes, si nous prenons deux points sur un plan de 
Lobatchevsky et si nous les joignons par une droite de ce plan, 
puis par des hypercycles et un horicycle, celui-ci est le plus long, 
et les hypercycles sont d’autant plus courts qu’ils sont géodé- 
siques d’hypersphères de plus forte courbure en valeur absolue. 
On voit combien la notion euclidienne de courbure est loin de 
ceci et à quel point elle égare quand on l’étend à un domaine 
où elle est inapplicable. 
Mais c’est trop insister sur un détail qui n’ôte rien de sa valeur 
au reste de l’ouvrage. Au point de vue de la géométrie pure de 
I’hyperespace, nous devons d’ailleurs signaler un appendice où 
sont étudiées, d’après Stringham, les formes régulières des 
espaces supérieurs ou polyédroïdes réguliers. Nous nous serions 
bien aussi arrêté à ce que dit M. Boucher du livre ingénieux et 
paradoxal de M. Bonnel sur l’atomisme géométrique, mais il en 
parle trop sommairement pour qu’on puisse saisir clairement sa 
(1) Voir, pour plus de détails, notre article sur la courbure et la 
distance eu géométrie générale (Revue de Métaphysique et de Morale, 
mars 1896). 
