BIBLIOGRAPHIE. 
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A la suite de cette Introduction, d’une impeccable rigueur en 
même temps que d’une éclatante netteté, MM. Tannery et Molk 
abordent leur sujet principal. 
La double périodicité étant la propriété fondamentale qui leur 
servira à définir les fonctions elliptiques, ils débutent tout natu- 
rellement par un court chapitre renfermant des considérations 
générales sur les fonctions périodiques, d’où découle de la façon 
la plus naturelle la notion de la fonction vu. 
Après avoir, en effet, montré comment les théorèmes établis 
dans l’Introduction permettent de construire des fonctions 
entières présentant une périodicité simple donnée et esquissé la 
façon dont on pourrait, en suivant cette voie, établir en toute 
rigueur la théorie des fonctions trigonométriques, les auteurs en 
arrivent à l’examen de la périodicité double. Us démontrent 
qu’une telle périodicité ne peut exister qu’autant que le rapport 
des périodes est imaginaire, puis, ainsi que l’a remarque Liou- 
ville, qu’elle ne saurait appartenir à une fonction entière qu’au- 
tant que celle-ci se réduirait à une constante, et se trouvent 
ainsi tout naturellement conduits à rechercher, parmi les fonc- 
tions les plus simples après les fonctions entières, c’est-à-dire 
parmi les fonctions univoques n’admettant pas d’autres singula- 
rités à distance finie que des pôles, celles qui sont doublement 
périodiques. Us aboutissent ainsi, par une marche des plus ration- 
nelles, à la notion de la fonction vu qui constitue la clef de la 
théorie des fonctions elliptiques. 
L’étude de cette fonction vu, ainsi que des fonctions l u et pu 
qui en dérivent, occupe tout le second chapitre qui représente 
d’ailleurs, à lui seul, plus du tiers du volume. Afin de mettre 
plus d’ordre dans cette étude, les auteurs l’ont divisée en six 
paragraphes. 
Dans la paragraphe 1, ils construisent la fonction vu, obtenue 
sous forme d’un produit infini à double entrée, et en déduisent 
les fonctions lu et pu, données par des séries à double entrée, 
pour faire aussitôt ressortir les propriétés résultant immédiate- 
ment de ces expressions fondamentales, notamment en ce qui 
concerne l’addition des périodes. 
Nous devons signaler ici la modification introduite par les 
auteurs dans les notations de M. Weierstrass en ce qui concerne 
les demi-périodes, qu’ils désignent par w 2 , u> 3 , au lieu de w, 
— u»", w'. Ainsi qu’ils le remarquent eux-mêmes, dans la Préface, 
le principal inconvénient résultant de là sera de forcer le lecteur 
à quelque attention, lorsqu’après s’être familiarisé avec ce 
