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système de notations, il voudra se reporter aux travaux de 
M. Weierstrass et de ses disciples. Mais, à tout prendre, cet 
inconvénient n'est pas bien grave; il eût été plus sensible si les 
auteurs n’avaient eu la précaution de changer, en même temps 
que leur ordre, Y écriture même des indices (pourvus d’indices au 
lieu d’exposants): tel qu’il est, il peut être tenu pour très accep- 
table; et les avantages qui résultent d’autre part de la symétrie 
attachée aux nouvelles notations justifient parfaitement, selon 
nous, le parti auquel se sont arrêtés MM. Tannery et Molk. 
Dans le paragraphe 11 apparaissent entre les fonctions au, Çw, 
pu, p'u des relations plus cachées, mais de la plus haute impor- 
tance, parmi lesquelles il convient de signaler la relation fonda- 
mentale entre pu et p'u. On y voit également s’introduire la 
notion des invariants g., et g 3 qui présentent le caractère remar- 
quable de suffire à déterminer chaque fonction pu. 
Le paragraphe ni est réservé à la transformation en un pro- 
duit infini à simple entrée du produit infini à double entrée 
servant à définir la fonction au, et à quelques conséquences 
immédiates de cette expression nouvelle. 
De même que la commodité des notations conduit tout natu- 
rellement à adjoindre la fonction cosinus à la fonction sinus, de 
même interviennent ici les trois cofonctions api, a 2 u, a 3 u de 
M. Weierstrass. Elles sont étudiées en détail dans le para- 
graphe iv, qui se termine par l’examen spécial d’un cas parti- 
culier très important (celui où w, et -y sont réels et positifs) 
destiné à permettre au lecteur de se faire une image plus nette 
de l’ensemble des résultats acquis. 
Le reste du chapitre est. consacré au problème de la trans- 
formation, considéré d'abord dans le cas particulier où on 
substitue aux périodes primitives des périodes équivalentes 
(paragraphe iv), puis dans le cas où on effectue sur les périodes 
la substitution linéaire à coefficients entiers (et à déterminant 
non nul, bien entendu) la plus générale (paragraphe v). Ce der- 
nier problème se ramène finalement à la substitution des 
périodes 
2lüj 
n 
et 
aux périodes 210, et 2u 3 , problème qui se 
divise lui-même en deux parties correspondant aux cas de n = 2 
et n impair. 
En raison de l’usage qu’ils auront à en faire dans la suite de 
l’ouvrage, les auteurs ont réuni à la fin du volume quelques, 
notations et propositions concernant la théorie des substitutions 
