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Hippocrate de Chio, etc., et ce dernier l’avait ramené 
au problème plus général de la détermination de deux 
moyennes proportionnelles entre deux droites données (i). 
Diverses solutions en avaient été données par la géométrie 
pure. Hippocrate le résolvait par l’intersection de deux 
paraboles, ou d’une parabole et d’une hyperbole, ce qui 
se révèle aujourd’hui à l’écolier le plus novice. SI use se 
proposa d’en trouver des solutions plus variées, et ce qui 
donne de l’intérêt à ses recherches, c’est que, bien que les 
constructions soient effectuées sans algèbre, à la manière 
des anciens, on voit fort bien que Sluse y est parvenu par 
la géométrie analytique de Descartes, ce qu’il explique 
d’ailleurs dans la deuxième partie de son livre. Il résout 
le problème des deux moyennes proportionnelles, d’abord 
par l’intersection d’un cercle et d’une ellipse, puis d’un 
cercle et d’une hyperbole, et cela d’une infinité de manières. 
Il généralise ensuite, ramène les divers cas de l’équation 
du troisième degré à des questions géométriques (con- 
struction de segments sur des lignes droites) et résout 
ces problèmes par les intersections des mêmes courbes. 
Enfin, à la page 44, il donne un résultat beaucoup plus 
élégant, comme l’a remarqué M. Chasles, en résolvant la 
question au moyen d’une ellipse déjà donnée d'avance, et 
d’une autre ligne, cercle ou hyperbole, convenablement 
choisie. 
L’importance de ces recherches consiste surtout dans la 
méthode, qu’il explique dans la seconde partie ( Pars altéra 
de analysi). Lorsqu’on doit résoudre une équation du troi- 
sième degré à une inconnue, on peut, de bien des manières, 
la faire résulter de la combinaison de deux équations à 
deux inconnues par l’élimination de l’une de celles-ci ; si 
l’on regarde ces deux inconnues comme des variables, les 
deux équations figureront alors deux courbes en coordon- 
(1) C’est-à-dire de deux lignes x et y satisfaisant aux relations 
a : x = x : y = y : b. 
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