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précède, et avec raison, la règle des fonctions composées dont elle met 
en évidence les cas d’exception. 
Le chapitre se termine par le calcul de quelques dérivées d’ordre 
quelconque et diverses applications de la formule de Taylor. 
Dans le chapitre îv se trouve exposée la théorie des différences. 
Nous y remarquerons une démonstration, plus rigoureuse que celle 
qui est ordinairement donnée, de ce théorème que la limite du rapport 
de la n e différence d’une fonction à la puissance n e de la différence 
de la variable est égale à la n e dérivée de la fonction, lorsque la diffé- 
rence de la variable tend vers zéro. 
L’auteur, en démontrant les formules d’interpolation de Lagrange 
et de Newton y a ajouté un reste, ce qui permet de se rendre compte 
de l’erreur commise dans l’application de ces formules. Il a également 
donné l’expression des dérivées en fonction des différences, en y fai- 
sant figurer un reste. 
On trouve, dans ce chapitre, l’application du calcul des différences à 
la construction des tables numériques et à la résolution des équations. 
Le chapitre v est relatif aux différentielles des fonctions d’une 
seule variable. Après quelques généralités sur les divers ordres d’in- 
finiment petits, l’auteur définit la différentielle d’une fonction comme 
étant rigoureusement le produit de la dérivée de cette fonction par 
l’accroissement arbitraire de la variable, et il établit directement que, 
si l’on a trouvé une relation entre des infiniment petits qui sont des 
différentielles, en négligeant des termes d’ordre supérieur, les termes 
conservés étant de même ordre, cette relation a lieu rigoureusement. 
Le chapitre vi, consacré aux dérivées, différences, et différen- 
tielles des fonctions de plusieurs variables, débute par quelques notions 
sur le calcul des expressions symboliques, ce qui permet à l’auteur 
d’éviter des redites dans la suite de l’ouvrage. Ayant défini les 
diverses dérivées d’une fonction de plusieurs variables, et fait quel- 
ques remarques à leur sujet, M. Laurent généralise la formule de 
Taylor, puis il aborde les différentielles totales et partielles. 
Le chapitre vu est relatif à la théorie des déterminants fonction- 
nels et à la dérivation des fonctions implicites. L’auteur, après avoir 
exposé les propriétés fondamentales des déterminants fonctionnels, 
fait une courte digression sur les déterminants gauches, et donne le 
beau théorème de M. Bertrand sur le déterminant d’un système de 
fonctions. Il établit les conditions pour qu’il existe un nombre donné 
de relations entre plusieurs fonctions, et fait connaître la forme 
remarquable donnée par Jacobi au déterminant de plusieurs fonctions. 
