58S 
REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
second degré. Nous ne terminerons point ce qui est relatif aux fractions 
continues sans rappeler que M. Hcrmitc a. dans ces derniers temps, 
fait connaître (1) une démonstration lumineuse du théorème de 
Lagrange, sensiblement plus simple que celles qui étaient connues 
jusqu’alors. 
L’étude des propriétés générales des équations algébriques débute 
par les notions essentielles sur les expressions imaginaires et les pro- 
priétés des fonctions entières. Ces préliminaires aboutissent au prin- 
cipe fondamental de la théorie des équations, à savoir que toute 
équation algébrique a au moins une racine, réelle ou imaginaire. Mais 
nous préférons de ce théorème la belle démonstration de Cauchy, l’une 
des plus originales assurément de l’Algèbre moderne, et que Serret dé- 
veloppe un peu plus loin (2). 
L’étude des transformations linéaires des équations qui conduit à 
une première méthode de résolution des équations du troisième et du 
quatrième degré termine le chapitre. 
Le chapitre suivant est consacré tout entier à la théorie des équa- 
tions simultanées et de l’élimination. On y trouve une exposition 
particulièrementclaire et simple de la méthode de Bezout. que Serret 
complète par l’ingénieux théorème de Liouville sur le calcul des va- 
leurs des inconnues éliminées qui répondent à chaque racine de l’équa- 
tion linale, et qu’il applique avec une élégance remarquable au cas de 
trois équations du deuxième degré à trois inconnues, c’est-à-dire à la 
recherche des points communs à trois surfaces du second ordre i il ne 
se contente pas de résoudre le problème, il le discute et rehausse ainsi 
l’intérêt de la question, en faisant ressortir son importance géomé- 
trique. 
Serret explique par suite de quelles circonstances le degré de 
l’équation finale peut être abaissé, puis il examine le cas des solutions 
multiples qui donne lieu à un théorème important. 
On sait que la recherche des solutions communes à.deux équations à 
deux inconnues par la méthode du plus grand commun diviseur, quoique 
fort simple, a l’inconvénient d’introduire des solutions étrangères. La- 
batie fit connaître en 183-2 un théorème remarquable qui supprime 
cet inconvénient et dont Serret développe la démonstration. Depuis, 
d’autres méthodes ont été imaginées pour le même objet. L’auteur 
(1) Bulletin des sciences nixtlièinatiques, 2e série, t. IX ; 1835. 
(2) On sait que d’autres démonstrations de ce théorème fondamental ont 
été récemment proposées par MM. Lipschitz, Dutordoir, Walecki. 
