BIBLIOGRAPHIE. 589 
mon ire ensuite l’application de la théorie précédente à la transformation 
et à l’abaissement des équations. 
En vue des applications fréquentes qu’il aura occasion d’en faire, 
Serret consacre tout un chapitre aux propriétés des racines de l’ur.ité. 
Il fait voir comment, dans tous les cas, la résolution d’une équation 
binôme se réduit à la recherche de ses racines primitives, et il montre 
que la méthode d’abaissement des équations réciproques, appliquée 
aux équations binômes, ramène la résolution de ces équations à celle 
d’équations de degré moins élevé, dont il enseigne, par un procédé 
ingénieux, à former le premier membre. Enfin il démontre l’irréduc- 
tibilité de l’équation qui donne les racines, autres que l’unité, de 
toute équation binôme dont le dégré est un nombre premier. 
La résolution numérique des équations comprend deux grands pro- 
blèmes dont l’un est la clef de l’autre : la séparation des racines; leur 
calcul numérique. 
A chacun d’eux, Serret consacre un long chapitre. 
En ce qui concerne la séparation des racines, la' première question 
qui se pose est la détermination des limites supérieure et inférieure de 
ces racines, limites qui circonscrivent le champ des investigations. 
Pour cet objet Serret donne les méthodes classiques de Maclaurin, 
de Lagrange et de Newton. On en connaît aujourd’hui beaucoup 
d’autres dont les principales ont été données par M. Laguerre, à qui 
l’analyse des équations est redevable de tant et de si notables progrès. 
Le théorème de Descartes est établi par Serret au moyen de l’an- 
cienne démonstration qui repose sur le lemme de Gauss. Nous n’hési- 
tons pas à préférer l’ingénieuse démonstration de M. Laguerre (1), 
qui étend d’ailleurs la règle des signes de Descartes aux équations dans 
lesquelles les exposants de la variable sont fractionnaires ou même 
incommensurables. M. Désiré André a montré récemment que l’on 
pouvait abaisser la limite fournie parle théorème de Descartes. 
Le théorème de Budan et Fourier fait connaître une limite supérieure 
du nombre des racines comprises entre deux nombres donnés, et ce 
nombre lui-même si l’équation a toutes ses racines réelles. M. Laguerre 
a démontré, pour le même objet, un autre théorème qui a l’avantage 
de s’étendre, sans difficultés, à certaines équations transcendantes. Ce 
(1) M. Laguerre a résumé ses belles recherches sur l’analyse des équa- 
tions dans son Mémoire sur la théorie des équations numériques ( Journal 
de Mathématiques , be série, t. IX, p. 99). Voir aussi du même auteur divers 
articles dans les Nouvllès Annales de Mathématiques (Années 1878, 1879, 
1880) et dans les Acta mathematica { année 1884). 
