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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
savant géomètre a également donné une méthode pour déterminer le 
nombre exact des racines positives d’une équation donnée. 
Mais la solution complète du problème de la séparation des racines 
est tout entière contenue dans l’admirable théorème de Sturm qui, 
théoriquement du moins, suffit à tout, et dont Serret dit qu’il « con- 
stitue l’une des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l’Ana- 
lyse mathématique. » Serret, après avoir démontré ce théorème, et 
fait à son sujet de nombreuses et intéressantes remarques, l’applique a 
divers problèmes, et, entre autres, à la recherche du nombre qui ex- 
prime combien une équation quelconque a de racines réelles ou ima- 
ginaires dans l'intérieur d’un contour donné, problème qui conduit à 
la séparation des racines imaginaires. 
Pour la séparation des racines réelles, que Lagrange opérait par le 
moyen de l’équation aux carrés des différences, le théorème de Sturm 
donne la solution la plus complète et la plus élégante que l’on puisse 
imaginer. Mais l’application pratique de cette méthode conduit géné- 
ralement à des calculs assez difficiles qu’il vaut mieux éviter en em- 
ployant la méthode de Fourier, développée avec détail par Serret. 
Quant au calcul des racines des équations numériques, l’auteur, 
après avoir indiqué comment on procède à la recherche des racines 
commensurables, expose la théorie des différences, qui permet, une fois 
la séparation effectuée, de calculer les racines incommensurables avec 
une première approximation. Pour approcher davantage des valeurs 
de ces racines on fait usage soit de la méthode de Newton, soit de celle 
de Lagrange. Pour la première, Serret, par un heureux artifice, montre 
comment on peut se rendre compte de l’erreur commise, ce qui est de 
la plus haute importance. Quant à la seconde, on sait qu’elle consiste 
à développer la racine cherchée en fraction continue ; Lagrange l’a 
complétée par une remarque qui en simplifie grandement l’application. 
Serret fait en outre connaître l’ingénieuse méthode de Vincent (1), qui 
repose sur une belle propriété des fractions continues et procède à la 
fois des deux méthodes précédentes. Les racines imaginaires peuvent 
être calculées par la méthode' de New ton, encore applicable dans ce 
cas, mais le plus simple est de recourir à l’élimination. 
La deuxième section, avons-nous dit. est consacrée aux fonctions 
symétriques, dont le rôle est si important dans l’Analyse mathématique. 
La première question qui se pose au sujet de ces fonctions est leur 
calcul au moyen des coefficients des équations correspondantes. Lepro- 
(1) Journal de. Mathématiques pures et appliquées, 1. 1. 
