BIBLIOGRAPHIE. 
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blême peut se ramener de proche en proche à la recherche de la somme 
des puissances semblables des racines d’une équation, recherche que 
l’on peut opérer soit par les formules célèbres de Newton, soit par le 
procédé delà division algébrique qui, au fond, revient au même, soit 
enfin par la formule de Waring. Mais il est plus élégant d’ effectuer di- 
rectement le calcul d’une fonction symétrique donnée au moyen, soit de 
la méthode de Waring, soit de celle de Cauchy, dont Serret complète 
l’exposition par divers exemples bien choisis. L’auteur fait voir 
ensuite, en éclairant sa théorie par l’examen de divers cas particuliers, 
comment la connaissance des fonctions symétriques permet de construire 
les équations qui donnent les fonctions rationnelles quelconques de 
plusieurs racines d’une équation . Une autre application importante est* 
donnée par la méthode d’élimination fondée sur la théorie des fonctions 
symétriques, méthode que Serret complète par le théorème de Lagrange 
sur les conditions pour que deux équations aient plusieurs racines 
communes. 
La méthode proposée en 1683 dans les Actes de Leipsick par 
Tschirnaüs pour faire disparaître d’une équation autant de termes 
qu’on le veut, moyennant la résolution de certaines autres équations, 
conduit à un procédé de résolution des équations des troisième et qua- 
trième degrés. Un habile géomètre anglais, M. Jerrard,a fait voir que, 
en appliquant convenablement cette méthode à une équation quel- 
conque du cinquième degré, on pouvait 'par la résolution d’une 
équation du troisième degré, ramener cette équation à la forme tri- 
nôme. 
Serret démontre la célèbre formule de Lagrange contenue dans les 
Mémoires de l’Académie de Berlin, et qui conduit à l’expression expli- 
cite de la somme des puissances semblables des racines d’une équation 
en fonction des coefficients de cette équation, expression connue sous 
le nom de formule de Waring. parce que ce géomètre la publia dans 
ses Meditationes algebraicæ. Waring donna également l’expression 
d’une fonction symétrique d’ordre quelconque des racines d’une équa- 
tion, en fonction de sommes des puissances semblables des racines. 
Serret établit cette formule difficile avec une grande clarté. Il expose 
ensuite une nouvelle et ingénieuse méthode pour former le der- 
nier terme de l’équation aux carrés des différences, dont la considéra- 
tion est utile en Analyse. Enfin, revenant sur la formule de Lagrange, 
il développe la belle analyse de M. Rouché, qui présente sur la pre- 
mière démonstration l’avantage d’une rigueur serrée, et il donne plu- 
sieurs applications de cette importante formule. 
