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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Dans le chapitre suivant. Serret développe, avec tous les détails 
qu’elle comporte, la théorie des fractions rationnelles, où nous signa- 
lons une forme particulièrement élégante de l’expression d’une fraction 
rationnelle décomposée en fractions simples. A titre d’applications, 
Serret indique des conditions pour que l’intégrale d’une différentielle 
rationnelle soit algébrique, ce qui lui permet de traiter le beau pro- 
blème qu’il a résolu dans le XXXV e cahier du Journal de l’École poly- 
technique sur les courbes algébriques dont l’arc s’exprime par un arc 
de cercle. Il donne aussi la formule d’interpolation de Cauchy et les 
notions essentielles sur les séries récurrentes. 
L’auteur expose quelques notions succinctes au sujet des fonctions 
•alternées et des déterminants, en vue de la théorie des formes quadra- 
tiques qu’il développe ensuite : c’est là que s’introduisent la notion 
toute moderne de l’invariant et celle de la fonction adjointe de Gauss. 
De la proposition importante due à M. Syh ester et connue sous le 
nom de loi de l’inertie des formes quadratiques , il donne la belle 
démonstration de M. Hermite. Vient ensuite l’important théorème de 
M. Sylvester sur les fonctions de Stunn. qui permet, comme consé- 
quence, de déterminer exactement le nombre des couples de racines 
imaginaires d’une équation donnée. Borchardt a donné à ce dernier 
résultat une forme particulièrement élégante. Ce profond géomètre a 
aussi, dans le même mémoire, démontré la réalité des racines de l’équa- 
tion en S la plus générale, par une belle analyse que reproduit Serret. 
Enfin, Serret développe la remarquable et ingénieuse méthode de 
M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d’une équa- 
tion qui sont comprises entre deux limites données, méthode qui con- 
duit comme corollaire au théorème de Sturm. 
Le premier volume se termine par l’extei sion aux solutions com- 
munes à plusieurs équations de la théorie des fonctions sv métriques, 
avec application à la théorie de l’ élimination On trouve là l’élégante 
analyse de Liou ville sur le développement d» s fonctions implicites sui- 
vant les puissances décroissantes de la variable, suivie d’une intéres- 
sante application géométrique (démonstratin. analytique d’un théo- 
rème de Chasles), et le procédé de M. Mii.d g pour déterminer avec 
précision le degré de l’équation finale relati deux équations quel- 
conques données. 
Le tome II débute par une incurs on d>' l a h ur sur le domaine de la 
théorie des nombres. Cette branche de la >c ce p •■été u utile appui 
à l’analyse des équations, et c’est ; n Ser t s\ attache. Il 
traite d’abord des congruences, et c: | o os e s théorèmes 
