BIBLIOGRAPHIE. 
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classiques de Fermât et de Wilson avec leurs généralisations ; puis il 
envisage les résidus de puissances qui le conduisent aux congruences 
binômes. On sait que cette théorie repose sur la connaissance des 
racines primitives et des indices. On rencontre là le théorème 
de Legendre , sur la loi de réciprocité qui existe entre deux nom- 
bres premiers, avec la démonstration qu’en a donnée Gauss. 
Dans un chapitre consacré aux propriétés des fonctions entières 
d’une variable relativement à un module premier, Serret expose une 
théorie qui a été l’objet d’un de ses mémoires, présenté en 18G5 à 
l’Académie des sciences. Cette théorie, très délicate et supérieurement 
traitée, le conduit à des applications importantes. 11 détermine, par 
une méthode qui lui est propre, les fonctions entières irréductibles 
suivant un module premier dans le cas où le degré est une puissance 
du module. Enfin il envisage le problème qui consiste à fixer la totalité 
des nombres premiers compris entre des limites données ; ce problème 
n’a pas encore été rigoureusement résolu, mais M. Tchébichef, par 
de très ingénieuses et très originales considérations que rapporte 
Serret, a déterminé des limites entre lesquelles est toujours compris le 
nombre cherché. Auparavant, et. en vue même de cet objet, Serret 
indique une méthode qui permet de déduire la formule de Stirling qui 
fait connaître le logarithme du produit des x premiers nombres, de la 
formule de Wallis qui donne une expression du nombre n sous forme 
de produit indéfini. 
La section IV constitue à elle seule un petit traité des substitutions, 
théorie capitale qui joue un rôle fort important en Analyse, et qui a été 
l’objet de beaux travaux de la part de plusieurs géomètres con- 
temporains, au premier rang desquels il faut citer M. Camille Jordan. 
Serret expose d’abord les propriétés générales des substitutions ; il 
s’agit là d’une matière tout à fait spéciale, absolument différente de 
ce qu’on a vu jusque-là ; mais l’étudiant, même liv ré à ses propres 
ressources, ne saurait s’en effrayer ; il est bien facile en effet de 
suivre une voie, si nouvelle qu’elle soit, avec un guide aussi sur 
que Serret. 
Une notion importante dans la théorie des substitutions est celle 
des systèmes conjugués formés par des substitutions qui se reproduisent 
par des multiplications entre elles. Serret développe les propriétés de 
ces systèmes qui conduisent eux-mêmes à la notion des groupes de per- 
mutations. 
Le chapitre suivant contient des considérations extrêmement inté- 
ressantes sur les indices des systèmes conjugués et la transitivité des 
xix as 
