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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
systèmes de substitutions conjuguées. Sur la limite inférieure de 
l’indice d’un système de substitutions conjuguées, lorsque cet indice 
est supérieur à c l. il existe un théorème célèbre qui. pour arriver à sa 
forme définitive, a passé par plusieurs phases successives auxquelles 
Serret nous fait assister. Ce théorème, entrevu sur im cas particu- 
lier par Rufmi, a tenté les efforts de Cauchy qui n’en a obtenu qu’une 
expression incomplète. A M. Bertrand est revenu l’honneur de péné- 
trer le premier jusqu’au fond de la question : mais la solution, fort 
élégante d’ailleurs, de ce savant géomètre exige malheureusement 
que l’on admette certain postulatum : Serret a su s’affranchir de cette 
entrave, et donner une démonstration pleinement rigoureuse de ce 
théorème et de plusieurs autres non moins importants. 
11 consacre ensuite un chapitre à certains cas particuliers de la 
théorie des substitutions, qui intéressent tout spécialement l’analyse 
des équations, et au premier rang desquels nous trouvons les substi- 
tutions linéaires. Il considère à un point de vue particulier, qui lui est 
personnel, les fonctions rationnelles prises suivant un module pre- 
mier. et fait connaître les recherches de M. Hermite sur la représenta- 
tion des substitutions par des fondions analytiques. L’expression 
analytique des substitutions de cinq lettres a été donnée par .AI. Betti 
AI. Hermite a résolu le même problème à l’égard des substitutions de 
sept lettres. 
Pour clore la section qui a trait aux substitutions, Serrét donne 
l’importante application de cette théorie au problème difficile qui a- 
pour but de déterminer les valeurs diverses que prend une fonction de 
plusieurs variables par les substitutions de ces variables, problème 
qu’il traite d’après les beaux travaux de Cauchy et de Galois. 
Nous touchons enfin au couronnement de l’œuvre ; je veux parler 
de la résolution algébrique des équations. On sait résoudre algébrique- 
ment les équations des troisième et quatrième degrés, et c’est par là 
que Serret débute. Il donne pour l’équation du troisième degré la 
méthode de Hudde qui conduit aux formules de Cardan. discutées ici en 
grand détail, la méthode de Lagrange, ctîlles de Tschirnaiis et d’Euler, 
et indique un qas où la résolution d'une équation du troisième degré 
se réduit à celle d’une équation du second. Pour l’équation du qua- 
trième degré, il développe les méthodes de Ferrari et de Lagrange, et 
lait ressortir par suite de quelle circonstance ces méthodes réussis- 
sent (1). Lagrange, nous l'avons déjà dit, se plaçant à un point de 
(1) Un des géomètres les plus profonds dont s’honore actuellement la 
