BIBLIOGRAPHIE. 627 
à son œuvre un cachet d’originalité qui en rehausse encore le 
prix. 
Débutant, dans le Chapitre T, par les séries à termes constants, 
après avoir défini l 'espèce d’un critère de convergence au moyen 
du nombre des termes de la série qu'il fait intervenir, il com- 
mence par faire remarquer qu’ils peuvent tous se ramener à 
ceux de première espèce, fondés sur la considération d’un seul 
terme, et se borne dès lors à l’étude de ceux-ci. 
Ce sont les critères fondamentaux de Bertrand qui s’offrent 
ainsi tout d’abord à lui, et il convient de noter qu’il les établit 
ici par le seul moyen d’un théorème élémentaire dû à Cauchy, 
alors que leur auteur les avait déduits de la considération de 
certaines intégrales. Ces critères offrent l’intérêt de permettre de 
reconnaître la convergence plus ou moins lente des séries aux- 
quelles ils s’appliquent. Epuisent-ils tous les modes possibles de 
convergence? Bertrand considérait l’affirmative comme infini- 
ment probable. Avec Paul du Bois-Reymond et M. Hadamard, 
l’auteur montre qu’il avait tort, en donnant des exemples de cas 
où tous ces critères seraient en défaut. Mais si, au point de vue 
absolu, ils ne peuvent être considérés comme résolvant la ques- 
tion de façon complète, en réalité ils suffisent à tous les besoins 
des applications, les cas d’exception ne s’étant révélés que sur 
des exemples forgés de toute pièce à cet effet. 
Sur les conditions nécessaires de convergence, M. Borel étend 
le résultat relatif à la limite de nu,„ qu’avait donné Abel pour les 
séries à termes décroissants, et démontre qu’il n’existe pas de 
condition de forme plus restrictive. 
Dans le Chapitre II, l’auteur envisage la question de la conver- 
gence des intégrales, qui se lie étroitement à la précédente et 
développe à ce sujet une théorie en quelque sorte parallèle, 
s’attachant encore à mettre en évidence des règles de conver- 
gence “ assez compréhensives pour être relativement suffi- 
santes „. 
La réduction des types continus de croissance aux types dis- 
continus l’occupe particulièrement, et il fait voir que l’allure 
d’une fonction 11’est suffisamment définie par la seule connais- 
sance des valeurs qu’elle prend pour les valeurs entières de la 
variable que lorsque la croissance est assez lente. 
Au fond, c’est le mode suivant lequel a lieu la croissance qui 
domine le sujet, et, en reprenant les idées qu’il avait tout d’abord 
émises dans un Mémoire couronné par l’Académie des Sciences, 
M. Borel esquisse, dans le Chapitre III, une théorie de la crois - 
