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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
sance qui constitue la partie sans doute la plus originale de la 
brochure, celle qui contribuera plus spécialement à lui faire 
prendre un rang éminent dans l’estime des géomètres. 
Après avoir, sur des exemples construits tout exprès, mis en 
évidence l’allure très irrégulière que peut offrir la croissance 
des fonctions, l’auteur définit avec précision les ordres d’infini- 
tude ou degrés de grandeur dont la notion permet de débrouiller 
cette question épineuse entre toutes. Le degré de e\ qui joue ici 
un rôle fondamental, étant représenté par <u, il étudie à fond les 
propriétés de ce symbole, qui ne laissent pas d’être assez com- 
pliquées, et parvient ainsi à une définition précise des crois- 
sances régulières, qui jette une vive lumière sur toute cette 
théorie. 
La détermination de l’ordre d’une fonction présente d’ailleurs 
parfois des difficultés que l’on peut tourner par divers moyens, 
et notamment grâce à l’intégration de certaines égalités asymp- 
totiques, intégration dont la possibilité a été remarquée tout 
d’abord par M. Poincaré. 
Cette théorie de la croissance conduit enfin l’auteur à la con- 
ception de la fonction idéale de P. du Bois-Reymond qui marque 
en quelque sorte la frontière entre les fonctions qui donnent des 
séries et des intégrales convergentes ou divergentes. 
Un court chapitre, le quatrième, a pour objet de montrer 
comment, par des groupements convenables de termes, l’étude 
de la convergence dans les séries multiples peut se ramener au 
cas des séries simples, et de même pour les intégrales multi- 
ples. L’exemple donné à l’occasion de celles-ci ne manque pas 
d’une certaine généralité. 
Dans le Chapitre V, M. Borel s’attache aux séries de puis- 
sances à une variable. Il s’agit ici de saisir le lien entre la 
croissance de la fonction entière que définit la série et la 
décroissance des coefficients de cette série. Cette recherche, fort 
ardue, se scinde en deux problèmes d’inégale difficulté ayant 
pour but l’un de trouver le degré de grandeur de la fonction, 
celui des coefficients étant donné, et l’autre de faire l'inverse. 
Le premier de ces problèmes, qui a donné lieu à des travaux 
intéressants de la part de MM. Poincaré, Hadamard et Le Roy, 
reçoit de M. Borel une solution des plus satisfaisantes grâce à 
la considération de ce qu’il appelle le terme maximum qui 
suffit, à lui seul, à déterminer le degré de la fonction. 
Le second, abordé pour la première fois par M. Poincaré, puis 
par M. Hadamard. ne comporte pas de réponse absolue. 
