BIBLIOGRAPHIE. 
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Pour le cas du rayon de convergence fini, l’auteur donne une 
élégante méthode de M. Cesàro, dont l’origine se retrouve dans 
une Note de M. Appel]. 
Il reprend ensuite l’étude directe des séries par sa méthode 
du terme maximum pour en comparer les résultats avec ceux 
que donne la méthode de M. Le Roy fondée sur certain calcul 
asymptotique, et il semble bien que la première soit la plus 
rapide. 
Quant aux travaux de M. Hadamard qu'il analyse ensuite, ils 
sont pour lui l’occasion de mettre en relief l’importance primor- 
diale qui s’attache à la notion de croissance régulière (implici- 
tement admise par M. Hadamard), dont la méconnaissance peut 
avoir pour effet de faire tomber en défaut certains résultats. 
Le Chapitre YI aborde la question en ce qui concerne les séries 
à plusieurs variables, et les seuls résultats de quelque généra- 
lité que l’on possède sur ce sujet sont encore dus personnelle- 
ment à M. Borel. Ces résultats, condensés dans les trois théo- 
rèmes fondamentaux, relatifs aux fonctions entières, qui se 
rencontrent dans le premier paragraphe du chapitre, encore 
bien que n’ayant qu'une portée assez restreinte (puisqu’ils sup- 
posent à la fois tous les coefficients positifs, de même que toutes 
les valeurs attribuées aux variables) marquent un premier pas 
important dans un sujet d’une exceptionnelle difficulté. 
Deux courts paragraphes, qui terminent le chapitre, ont pour 
but l’un de définir la notion des rayons de convergence associés 
de M. Lemaire, dont l’avenir tirera peut-être parti, l’autre de 
signaler, au moyen d’un exemple, une difficulté singulière 
remarquée par Cauchy dans l’étude des séries à plusieurs varia- 
bles, et qui tient à ce que, pour certaines de ces séries dites 
syntagmatiques, les régions de convergence certaine que l’on 
sait déterminer diffèrent beaucoup suivant la manière dont on 
effectue le groupement des termes. 
Non moins que ceux qui l’ont précédé dans la même collec- 
tion, cet ouvrage, où s’affirme de nouveau toute la maîtrise de 
M. Borel, en faisant connaître aux chercheurs l’état exact des 
découvertes déjà réalisées dans un des domaines de la science 
de l’accès le plus difficile, sera de nature à leur suggérer de 
nouveaux sujets de recherche et à fournir un point de départ 
sûr et une direction utile à leurs investigations. 
M. d’Ocagne. 
