BIBLIOGRAPHIE. 267 
étendue des chapitres que M. Lechalas y consacre, sauf à réduire 
d’autant plus ce que nous dirons des autres. 
I. L'espace géométrique. M. Lechalas s’occupe d’abord des 
bases de la démonstration géométrique : définitions, axiomes et 
postulats. Il maintient contre M. Liard que les définitions pre- 
mières en géométrie 11e sont pas et 11e peuvent pas être génétiques 
ou exprimant la génération de la figure à définir. Euclide, il y a 
plus de deux mille ans, admettait en tête de ses Éléments une 
définition non génétique de la droite et la complétait par trois 
postulats, dits de construction, exprimant la possibilité de mener 
une droite entre deux points, de la prolonger, et de tracer un cercle 
de centre et de rayon donnés, et personne n’a jamais pu se passer 
de ces trois postulats. “ La géométrie, dit M. Lechalas, apparaît 
comme reposant sur des définitions hypothétiques, dont la seule 
justification semble résulter de ce que, prenant ces définitions pour 
point de départ, on peut pousser la déduction aussi loin que l’on 
veut sans rencontrer de contradiction (p. y).„ Plus loin, pp. 44-48, 
l’auteur fait connaître pourquoi l’on peut être certain qu’un 
système de géométrie est irréprochable au point de vue logique 
et n’aboutira à aucune contradiction. — Les définitions seules 
d’ailleurs ne peuvent conduire à rien en géométrie, si l’on n’y 
joint les principes d’identité et de contradiction et, au besoin, 
comme il le fait observer avec raison, celui de raison suffisante. 
M. Lechalas examine ensuite la question de la prétendue 
stérilité des axiomes généraux sur les grandeurs, et la résout 
très bien, selon nous, à propos de quelques exemples, contre 
Locke et M. Lachelier. 
Enfin, l’auteur indique quelle est à ses yeux la vraie nature 
des postulats géométriques, par exemple, des cinquième et 
sixième postulats d’Euclide : deux droites d’un plan qui font avec 
une transversale des angles intérieurs dont la somme est moindre 
que deux droits se rencontrent ; — deux droites ne peuvent pas 
enclore un espace. “ Les postulats, dit-il, ne sont que des défi- 
nitions méconnues, et tant qu'on ne leur restitue pas ce caractère, 
on est amené logiquement, comme l’ont été d’innombrables 
géomètres, à en chercher des démonstrations, bien qu’il soit 
prouvé que ce but est impossible à atteindre en partant des 
définitions qui servent communément de base à la géométrie. „ 
La définition de la droite d’Euclide, ou celle de Legendre, ou 
celle de M. De Tilly suffit pour établir, sans les postulats cités 
plus haut, la moitié à peu près des propriétés contenues dans les 
