BIBLIOGRAPHIE. 
269 
la théorie des équations à une inconnue et de degré quelconque, 
ou même transcendantes; au point de vue géométrique pur, sans 
intervention de l’analyse proprement dite, on peut considérer, 
dans un pareil espace, la théorie du rapport anharmonique, 
.celle de l'involution et des transformations variées. M. Lechalas 
indique ensuite comment on peut étudier directement des espaces 
à deux dimensions ou surfaces ; chemin faisant, il rencontre des 
objections de M. Renouvier et de M. Poincaré : “ L’esprit 
humain, dit-il. travaillant sur des données sensibles et sans 
précision, leur appliquera les notions générales, qui se seront 
éveillées en lui peut-être à leur occasion, et pourra construire 
alors une science apriorique qui pourrait même ne pas 
s’appliquer eu fait aux phénomènes réels sans que sa propre 
valeur en fût en rien diminuée. „ Ainsi des mesures imparfaites 
1 peuvent donner l’idée de l’égalité des distances comptées sur les 
1 géodésiques des surfaces et permettre de faire une géométrie 
I générale dans un espace à deux dimensions. 
Parmi ces surfaces, M. Lechalas considère les plans (ou sur- 
faces identiques à elles-mêmes de M. Calinon) qui sont de trois 
| espèces : plans riemanniens, plan euclidien, plans lobatchefskiens. 
Il donne une idée de la trigonométrie et du calcul des aires dans 
j chacun de ces plans, et réfute encore une fois M. Renouvier, 
dont la science mathématique un peu courte voit des postulats 
i partout (ce n’est pas M. Lechalas, c’est nous qui disons cela), à 
propos d’un théorème sur les perpendiculaires, qui est d’ailleurs 
très bien démontré dans Euclide. Enfin, M. Lechalas traite des 
espaces divers à trois dimensions; il indique très bien comment 
la théorie de la similitude existe entre deux espaces riemanniens 
[ou lobatchefskiens quelconques; comment aussi, en un certain 
sens, dans un espace à quatre dimensions, on pourrait superposer 
deux figures symétriques à trois dimensions. 
Qu’il nous soit permis de faire ici deux ou trois remarques 
| critiques. i° L’euclidianisme des figures infiniment petites, selon 
nous, 11e peut être établi avec rigueur par le raisonnement som- 
maire de la note de la page 32. 2 0 M. Lechalas fait remarquer 
avec raison qu’il 11e faut pas confondre un plan lobatchefskien 
avec une pseudosphère de Beltrami (p. 33) ; mais selon nous 
il a tort de dire, p. 36, que le plan riemannien est identique à 
la sphère euclidienne : celle-ci a un centre unique, ce qui n’est 
pas le cas pour le plan riemannien. De même, il nous semble 
abusif de dire que la droite et le plan euclidiens sont l’horicyele et 
l’horisphère lobatchefskiens (p. 38). Mais peut-être, sur ce point, 
