BIBLIOGRAPHIE. 
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largement puisé dans les travaux de Cauchy, dont il expose, 
entre autres, la théorie des intégrales définies singulières et celle 
des indices. Nous trouvons également dans ce chapitre d’impor- 
tantes remarques sur la différentiation sous le signe /, remar- 
ques que, si nous ne nous trompons, M. Laurent a lui-même 
faites pour la première fois dans son Calcul des résidus. 
Le chapitre iv traite des intégrales multiples. L’auteur expose 
la délicate théorie du changement de variable dans les inté- 
grales multiples d’après Cauchy. 11 effectue de nombreuses éva- 
luations de volumes et de surfaces courbes, indique les remarques 
de Cauchy sur la différence des valeurs que peut prendre une 
intégrale multiple en intervertissant l’ordre des intégrations, ainsi 
que la curieuse démonstration qu’en a déduite Gauss pour le 
théorème fondamental de la théorie des équations algébriques. 
Il signale également une importante remarque de M. Cayley au 
sujet des intégrales multiples prises entre des limites infinies. Il 
développe ensuite quelques considérations fondamentales sur la 
théorie de l’hyperespace, qui le conduisent au théorème de 
Green et à un remarquable théorème de M. Kronecker sur 
l’expression, par une intégrale multiple, du nombre de solutions 
communes à plusieurs équations, contenues dans un domaine 
donné, théorème jusqu’ici peu connu en France. 
Dans le chapitre v, nous trouvons la théorie de l’intégration des 
différentielles totales et des fonctions de la variable x, d’une 
fonction quelconque y et des dérivées de celle-ci, qui sont des 
dérivées, quelle que soit ij. Nous relèverons dans ce chapitre 
une remarque sur les conditions dfintégrabilité, qui est due à 
M. Laurent lui-même, et dont il vient de se servir dans les Nou- 
velles Annales de mathématiques pour simplifier quelques points 
de la théorie des équations aux dérivées partielles. 
Le chapitre vi est consacré aux intégrales définies entre 
limites imaginaires. M. Laurent, après les préliminaires indispen- 
sables, donne le théorème fondamental de Cauchy dont il a 
d'ailleurs donné précédemment la démonstration directe. Il 
aborde ensuite le calcul des résidus de Cauchy, qu’il expose en 
s’attachant à suivre d’aussi près que possible les mémoires ori- 
ginaux d'où il est sorti. C’est peut-être là l’œuvre la plus impor- 
tante du grand géomètre ; c’est en tout cas la plus classique. 
Le chapitre vii contient la théorie de l’intégration par les 
séries. C’est encore, presque en entier, l’exposition des travaux 
de Cauchy sur ce sujet. A propos de théorèmes fondamentaux 
par lesquels débute le chapitre, M. Laurent fait une réflexion 
