MICHEL CHASLES. 
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lutte avantageusement avec les ressources de l’analyse, il 
faut citer encore ses recherches sur les lignes géodésiques 
et sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde, qui parurent en 
1846 dans les Comptes rendus et dans le Journal de 
M.Liouville(i). 
Les lignes géodésiques d’une surface sont, comme on le 
sait, ces lignes analogues à la droite dans le plan et à 
l’arc de grand cercle sur la sphère, qui sont les plus cour- 
tes que l’on puisse mener entre deux de leurs points sur la 
surface. Jacobi, par une analyse admirable, avait réussi 
à ramener au premier ordre l’équation différentielle des 
lignes géodésiques sur l’ellipsoïde, et M. Liouville avait 
donné à cette équation une forme très simple, en y 
introduisant les paramètres des surfaces homofocales qui 
passent par un point de la géodésique et l’angle sous lequel 
celle-ci coupe ces surfaces. Joachimsthal trouva unerelation 
géométrique élégante, équivalente au fond à l’équation de 
M. Liouville. Enfin, ces divers résultats se liaient à un ma- 
gnifique théorème de Michael Roberts, qui est celui-ci : 
« La somme des distances géodésiques de deux ombi- 
lics ( 2 ) de l’ellipsoïde à un point de la surface est constante 
le long d’une même ligne de courbure. » Les géomètres que 
je viens de citer avaient traité ces questions par l’analyse 
infinitésimale. 
Chasles aborde cette théorie par la géométrie pure, en 
se fondant encore sur les propriétés des quadriques homofo- 
cales tirées de Y Aperçu historique et sur d’autres qu’il en 
déduit, parmi lesquelles la suivante est surtout remarqua- 
ble : «Toutes les tangentes à une même ligne géodésique 
de l’ellipsoïde vont toucher une même quadrique homofo- 
cale à cet ellipsoïde. » Cette voie le conduit rapidement 
aux théorèmes de M. Liouville et de Joachimsthal, qu’il com- 
plète l’un et l’autre en assignant une signification géomé- 
(i) Tome XI, pp 5, 15, 105. 
(2j Ce sont les quatre points où Tellipsoïde est rencontré par l’hyperbole 
focale dont il a été question plus haut. 
