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franchir de ces restrictions. Ce que Carnot avait essayé, sans 
démonstration d’ailleurs, Chasles l’accomplit en introdui- 
sant dès l’abord, dans la géométrie, le principe.des signes. 
Ainsi, pour lui, si a, b, c, sont trois points en ligne droite, 
le segment ab n’a pas le même signe que le segment ba, 
et l’égalité ab + bc-\-ca= 0 a toujours lieu. La fonction 
anharmonique est soumise à cette loi des signes ; ceci est 
capital, car les relations segmentaires dans lesquelles on 
n’introduit pas le principe des signes, par exemple, la rela- 
tion d’involution de six points, sont généralement incom- 
plètes et laissent du doute sur la position exacte de certains 
points qu’elles ont pour mission de déterminer. 
Un autre perfectionnement se rapporte à l’interprétation 
des imaginaires, qui se rencontrent fréquemment en géo- 
métrie. Par exemple, si une proposition a pour objet un 
cercle et une droite tracés dans un même plan, on voit 
tout de suite qu’il y a deux cas généraux que l’on peut con- 
sidérer : la droite pourra couper le cercle en deux points, 
ou ne pas le couper du tout ; ce dernier cas est celui où 
l’algèbre, appelée à déterminer les points d’intersection, 
fournirait pour les éléments qui les représentent des valeurs 
imaginaires , racines d’une équation du second degré. Voilà 
pourquoi, en géométrie pure, on dit aussi que dans ce cas 
les points d’intersection sont imaginaires ; mais on sent 
qu’il n’y a là qu’un appel indirect à des souvenirs exclusive- 
ment algébriques, et que, pour les purs géomètres, les 
deux cas sont séparés par un abime infranchissable. Cepen- 
dant, préoccupés d’introduire dans la science d’Apollonius 
quelque chose de la simplicité générale de l’analyse, ils 
avaient essayé de combler cet abîme. Poncelet avait pro- 
posé son Principe de continuité, d’après lequel, lorsqu’une 
propriété de certaines figures a été établie par des raison- 
nements fondés sur quelque relation contingente (telle que 
la rencontre de la droite et du cercle dans l’exemple choisi), 
si la proposition en elle-même, dans son énoncé, ne dépend 
pas de cette condition particulière, elle doitètre considérée 
