®\ïCc coupe MM, la ligne kb parallèle à B C ; par 
le point b , oh la derniere coupe R R > la ligne b b ; 
parle point oîi celle-ci coupe MM , / a parallèle a 
B C, & enfin par le point <3 , où b B coupe M M , la , 
& par le point a , oit /<z coupe Æiè , la ligne a A . 
Suppofons maintenant que les lignes S S 9 RR , Ce , 
repréfenîent trois réglés avec des rainures telles 
qu’on le voit figure 3 , que vous fixerez dans lëhrs 
places refpeêhves SS , RR &c Ce fur un plan ou 
chaffis de grandeur fuffifante. 
Soient B b , Aa , d’autres réglés de même forme, 
qui fe meuvent fur les centres B , A , &c. lefquels fe 
meuvent eux-mêmes en haut & en bas le long de la 
réglé S S , mais de maniéré qu’on puiffe placer les 
centres B & A l’un fur l’autre , ou fur C , fi l’occafion 
le requiert, les arrêter avec des écroues, favoir 
le centre A en A y le centre B en B , &c. Soient k b 
fk la, d’autres réglés mobiles , comme les premiè- 
res , & difpofées de façon qu’elles fe mouvent 
toujours parallèlement les unes aux autres , & à la 
ligne De & MM , une autre réglé de pareille for- 
me. On affemblera les réglés K b & MM avec la 
réglé fixe Ce au moyen d’une pointe coulante qui 
paffe par le point q , où leurs rainures fe coupent. 
On affemblera de même les réglés K b , B b fila & 
A a enfemble , & avec MM 6c RR, avec dépa- 
reilles pointes qui les traverfent dans les points b, 
r,a 6 l s. La derniere de ces pointes doit être faite 
de maniéré à pouvoir porter un crayon. Je dis main- 
tenant que fi Ton avance ou recule la réglé MM de 
S S , e-nforte qu’elle lui foit toujours parallèle , le 
crayon s décrira la courbe qu’on demande ; que les 
diffances à compter du point O où le crayon coupera 
la bafe Z Z , à droite de S S , marqueront les raci- 
nes pofitives de V équation ; celles qui feront à gau- 
che , les racines négatives ; & les endroits où il ap- 
prochera de la bafe fans la toucher , les racines im- 
pofîibles ou imaginaires. Ces diffances doivent être 
prifes fur une échelle , fur laquelle la ligne Z?" C fera 
prife pour l’unité. , 
Dçmonjlration. Puifque les lignes OA 9 AB,'BC 9 &c. 
font proportionnelles aux coefficiens a, b 9 c, ôcc.Sup- 
pofons que la première OA foit égale au premier 
coefficient a , ou à telle de fes parties qu’on voudra , 
n par exemple , ferait-^-; alors pour conferver la 
proportion ci-deffus, la fuivante AB fera égale 
à-—, Bc à -f- 6c c D à — , &c. Si. l’on nomme 
0 Q ou fon égale D P x , pour lors D c étant prife 
égale à l’unité , Pc fera égale ai— x; & comme 
BC eft égale à — , on aura , à caufe des triangles 
femblables D C c 6c P q c , cette proportion 1 : 
1 — x = P q ou D K : mais K B =. 
d — d— d : 
BC + CD-DK , c’eff-à-dire, à — + 
d U U n 
favoir à Les mêmes triangles femblables don- 
nent K b : qb : : KB : qr , c’eff-à-dire, 1 : 1 — x :: 
c + dx : c + d x -m, c x — d x x 
T - h — qr ou Kl: mais A l 
D-DK-Kl, ou ;+;+£+— . 
, , n n 
\ b + ex + dxx T A . 
ou a . Les memes triangles donnent en- 
A 
c + dx- ex - dxx 
core la : ra :: A l 
h + ex +dxx — bx — ex x — dxxx 
rs , ou 1 
■x 
b + ex + dxx . 
r s. Or Q s , qui par 
a + b ~h 
c -f- 
la figure eff égal à QP — P q — q r — rs = 
d — d - dx c + dx— ex — dxx b + c x + dx x — b x — c x x — d x x : 
n n 
v a 4- bx + exx + dxxx 
favoir à 
; 6 c par conféquent , lorf- 
que Q_ s = o, c’eft-à-dire , lorfque la courbe décrite 
par S coupe la bafe, — — — = o, ou à 
Tome II, 
.àA-h+cfixUxxi ^ qui par Y équation même eft égalé 
à o. Q s , dans ces circonftances , fera donc auffi égalé 
à a -J- bx -f* exx -f- dxxx, & par conféquenÊ 
toute valeur de x ou de O Ç) , qui rend a Hh bx d® 
+ d xx x t= o , rend pareillement Q s égale à 
zéro. Or toute valeur de x- qui rend a + bx 
cxX -p dxxx = o, eft une racine de X équation 
propofée a + bx-\~ exx dxxx = o, dont là 
courbe coupera la bafe Z Z pour chaque racine 
réelle ‘de cette équation , foitpofitive ou négative, 6c 
ne lâ touchera point lorfqu’elie fera imaginaire $ 
comme le lavent ceux qui connoiffent les proprié* 
tés des courbes. C. Q. F. D. 
Cette démonftration eff appliquable à toute autre 
équation que l’on voudra. 
Nota. Pour avoir les racines négatives , on pla- 
cera les réglés à gauche de S S figurez , où elles font 
marquées par les mêmes lettres que dans la pre- 
mière figure. Par exemple, on pofera la réglé Cè 
de c ou q , la réglé Bb de b ou r, la réglé a A de n ou s ± 
vers la gauche , enforte que les centres A , B , des 
deux dernieres fe trouvent fur la ligne fixe S S. 
Il n’eft pas néceffaire que la courbe foit décrite 
avec exactitude, ni même qu’elle tombe fut le plan , 
excepté lorfqu’elie coupe la bafe , & par confé-* 
quent on ne rifque rien à faire les lignés O A , A B , 
&c. fort longues. Mais les réglés fixes ODBlTc ô 
doivent être fi près l’une de l’autre , que leur dif» 
tance De ou OT , étant prife pour l’imité , la bafé 
O T qui s’étend à droite jufcju’à l’extrémité du plan „ 
puiffe contenir toutes ies racines pofitives, & à gau* 
che toutes les négatives. 
Il y a encore line chofe à obferver : c’eff que fi 
l’on a une équation comme celle-ci x xx — S xx -p 
1 200 x + 9000 = o , dont les coefficiens S , i 20Ô 
& 9000 font différens l’un de l’autre , qu’il ferait 
difficile de les prendre fur la ligne OD , on peut les 
réduire de la maniéré fuivante : c’eft de mettre dans 
Y équation à la place de chaque x, 10 x, 20 .r, ou 
100 x. Je fuppofe qu’on mette 20 xr ; pour lors , ait 
lieu de xxx , on aura 8000 xxx , au lieu de S x x 
— 2000 xx , &c. , & Y équation fera changée en celle* 
ci 8000 xxx — 2000 xxx + 24000 x + 9000 = ô* 
Divifant chaque terme par 100 , on aura cette autre 
8 xxx — 2 x x -J- 24 xr + 9 = 0, dont la réduClion fera 
plus aifée. Mais on fe fouviendra pour lors, que faifant 
x 20 fois plus petit qu’il n’eff , les racines que vous 
trouverez feront pareillement vingt fois plus peti- 
tes , & qu’il faudra par conféquent les multiplier 
par 20 pour qu’elles aient leur jufte valeur. 
Voici quelques obfervations fur l’application dé 
ces réglés , qui peuvent avoir leur utilité. 
i°. Les racines d’une équation peuvent être de trois 
fortes , pofitives , négatives & impoflibles ou ima- 
ginaires. 
2 y . Toute équation contient autant de racines 
qu’elle a de dégrés. 
3 0 . Les racines imaginaires font toujours au nom* 
bre de deux. 
Par exemple , fi line équation a une racine ima- 
ginaire comme celle-ci a — b y/ — 1 , elle en aura 
une autre ; favoir , a — b y/ — 1 , qui la fuit toujours 
Il fuit de là que toute équation qui a des racines 
imaginaires , en contient 2,4,6, &c. c’efl>à-dire y 
qu’elles font toujours en nombre pair. Toutes les 
fois que la courbe , que les réglés décrivent , ap- 
proche de la bafe fans la couper , c’efi: une marque 
qu’il y a deux racines impoffibles; de forte que fi 
elle en approche trois fois, Y équation contient fix 
racines imaginaires. C’efi: tout ce que ces réglés peu- 
vent faire par rapport à ces fortes de racines ; elles 
marquent leur nombre , & non leur nature. J’en- 
feignerai plus bas le moyen de connoître celle-çL 
N N n n n 
