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fuis donc que les racines imaginaires font toujours 
en nombre pair , & que leur nombre efl égal aux 
dégrés de V équation , il s’enfuit : 
4°. Que toute équation dont le nombre des dé- 
grés efl impair , doit contenir au moins une racine 
réelle. 
5°. Que toute équation dont le premier & le der- 
nier termes , après avoir été tranfpofés , ont des fi- 
gues contraires, contient au moins une racine réelle. 
Lorfque cela arrive , & que le nombre de fes dimen- 
iions efl pair , de même que celui des racines im- 
pofïibles , celui des racines réelles doit l’être pa- 
reillement. 
6°. Que li l’on divife une équation par l’inconnue, 
moins une de fes racines , on la réduira à une di- 
menfion plus bas ; comme toute équation contient 
autant de racines qu’elle a de dégrés , il s’enfuit 
encore : 
7°. Que retranchant le nombre des racines ima- 
ginaires de celui de fes racines, je veux dire, du 
nombre de fes dimenlions , le reliant fera celui des 
racines réelles. 
8°. Après avoir trouvé , par le moyen des réglés, 
les racines réelles , faites la quantité inconnue x 
égale à chacune : tranfpofez les termes d’un côté : 
multipliez les équations les unes par les autres , & 
divifez F équation propofée par le produit qui en 
réfultera. Faites le quotient égal à zéro , & vous 
aurez une équation qui renfermera toutes les racines 
impofîibles , fans en avoir aucune de réelle. On 
trouvera enfuite les racines impolîibles par la mé- 
thode qu’enfeigne M. de Bougainville dans fort Traité 
du Calcul intégral , dans le cinquième & fixieme 
chapitre de fon introduélion. C’efl la meilleure que 
je connoifïe. 
Elle conlille à partager Y équation donnée en deux 
autres du même nombre de dimenlions , mais qui ne 
contiennent que des racines réelles pjue vous trou- 
verez par le moyen des réglés, ou autrement au 
moyen de quoi , vous aurez toutes les racines im- 
polîibles de votre équation. 
Comme peu de gens connoilfent cette méthode, 
il convient de la donner ici. 
L’auteur commence par donner la démonllration 
des deux propofitions fuivantes. 
Prop. /. Lorfqu’une quantité efl égale à zéro , & 
compofée de plufieurs termes , dont quelques-uns 
font réels, & les autres multipliés par y/ — i, la 
fomme de tous les termes réels elt égale à zéro ; & 
celle de tous ceux qui font multipliés par y/ — i , 
égale pareillement à zéro. C’ell le foixante-neu- 
vieme article de fon Introduction. 
Prop. 2. Lorfqu’une équation ne contient que des 
racines imaginaires , on peut toujours fuppofer la 
quantité inconnue égale à m -\-n y/ — i , dans laquelle 
m & n font des quantités réelles. C’ell le huitième 
article de la même introduélion. 
Par conféquent , pour trouver les racines d’une 
équation telle que celle dont il s’agit, il faut mettre à 
la place de chaque inconnue , x ; par exemple , m 
-f-/zy/ — i , & l’on aura une nouvelle équation qui 
contiendra les termes réels & les termes multipliés 
par /-ï, dont le premier & le dernier font égaux 
à zéro par la propofition i. Faites-le donc, & vous 
aurez deux équations dont il vous fera facile de dé- 
couvrir les deux quantités m & n , de même que celle 
de x* , qui par la deuxieme propofition eîl égale à m 
-F n y/ — i. 
Voici un exemple qui fera comprendre ce que 
j’ai dit dans la première partie de cet article. Sup- 
pofez que les racines réelles , découvertes par le 
moyen des réglés dont j’ai parlé , foient a , b — c , 
&c. Faites xt=a, x=n b , xns. — c , &c. Tranfpofez 
les termes , & vous aurez x — a =; o , x — bz=, o , 
E Q U 
at 4 *^ = 0, &c. Multipliez ces dernîefes équations 
les unes par les autres , divifez Y équation donnée par 
leur produit , & procédez comme j’ai dit ci-defîus„ 
9°. Le plus grand coefficient négatif d’une équa- 
tion quelconque , confîdéré comme pofitif, & au- 
gmenté de l’unité , excede toujours la plus grande 
racine poîitive de Yéquation. Par conféquent , ° 
io°. Si en place de la quantité inconnue x de 
Yéquation , vous mettez le coefficient , pris comme 
pofitif & augmenté de l’unité , moins x, toutes les 
racines deviendront pofitives. Dans ce cas, vous 
n’aurez beloin que des réglés de la figure i , dont les 
centres font à leurs extrémités , & elles vous fuffi- 
ront pour tous les cas poffibles ; car vous devez 
avoir obfervé que les centres de celles de la deuxie- 
me figure font autrement difpofés. 
ii°. Si après avoir rendu toutes les racines de 
votre équation pofitive , vous voulez vous éviter la 
peine de transporter la réglé MM à la droite de R R ; 
ce qui efl fujet à quelque inconvénient, je veux 
dire, fi vous voulez que toutes les racines de votre 
équation fe trouvent entre O & T, ou entre zéro & 
l’unité , au lieu de la quantité inconnue x de la der- 
nière équation , mettez x , multipliée par le plus grand 
coefficient négatif, confîdéré comme pofitif & au- 
gmenté de l’unité. Par exemple , file plus grand coeffi- 
cient négatif de Yéquation efl — 9 , mettez 10 x à la 
place de chaque x , Ite. vous aurez une nouvelle 
équation , dont toutes les racines fe trouveront fur 
la ligne O T , fans qu’il foit befoin de la prolonger, 
car elles feront moindres que l’unité , je veux dire , 
que DC ou O T ; mais après avoir ainfi trouvé les 
racines , il faut les multiplier par le coefficient au- 
gmenté de l’unité, c’efl-à-dire, dans l’exemple ci- 
deffus , par 10 , parce qu’ayant mis 10 x pour x , 
on rend chaque racine dix fois plus petite qu’elle 
n’étoit. 
Ces propofitions font reçues de tous les algébrif- 
tes , & n’ont pas befoin d’être démontrées. 
Voici la defeription d’une machine pour régler 
le mouvement des réglés dont j’ai parlé : elle n’efl 
que pour les équations du deuxieme dégré ; mais 
on peut également l’employer pour toutes les 
autres. 
A B C D , figure 4, efl un chafîîs de fer ou d’acier, 
compofé de quatre barres deferafïembléespar leurs 
extrémités , qui forment un parallélogramme re&an- 
gle de douze pouces de long fur huit de large , aux 
quatre coins duquel font des appuis E F, G H, IK r 
écLM, fur lefquels il porte. Sur le côté A , efl un 
coulant N , qu’on peut arrêter avec une vis dans 
tel endroit qu’on veut , & fur lequel la traverfe NO 
tourne fur fon centre. Son autre extrémité tient par 
le moyen d’une vis avec fon écroue à la traverfe 
P Q , qui efl pareillement arrêtée fur le chafîîs aux 
endroits P & Q , mais de maniéré qu’on peut l’ap- 
procher ou l’éloigner à volonté de l’extrémité A , 
Cette traverfe efl repréfentée par la ligne RR de la 
première figure. Les quatre appuis EF , G H ,/ K , 
LM , portent quatre traverfans ST , U X & Y Z , 
fur la première defquels efl une boëte coulante o, 
qui fert de centre au traverfant ab. Le fécond & le 
troifieme , favoir UX & TZ, font pareillement 
garnis de deux noix coulantes e & /, qu’on arrête 
011 l’on veut par le moyen d’une vis , Sc auxquelles 
la foie efi efl attachée. Les trois traverfans ST,UX y 
A , ou plutôt la ligne tracée fur celui d’en haut re- 
préfente la ligne SS de la figure 1 , & la foie ef , la 
bafe Z Z de la même figure. 
ghik efl un autre parallélogramme environ deux 
fois plus long que le premier, dont les côtés gk & 
hi , coulent dans des fupports attachés par des vis 
au chafîîs A B CD , dont trois font marqués par les 
lettres / , m 3 n , & ont des dents triangulaires par- 
