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tirer la valeur d’une fonftion quelconque des raci- | 
nés , pourvu que toutes y entrent d’une maniéré 
femhîable ; mais les formules des coefficiens de la pro- 
polée qui expriment ces fondions femblables de ra- 
cines > font difficiles à exprimer fous une forme gé- 
nérale & commode , lorlque le nombre des racines 
où les expofans dè ces fondions font des quantités 
indéterminées. Si les fondions femblables de toutes 
les racines font rationnelles , les fondions des coef- 
ficiens de la propofée le font aufli : mais fi elles font 
irrationnelles ; fi au lieu de fondions femblables de 
toutes les racines , on cherche des fondions fembla- 
bî es de deux , de trois racines feulement; alors les 
fondions des coefficiens qui y répondent ne font 
plus rationnelles , & il faut déterminer le dégré des 
équations dont elles dépendent alors, & les coeffi- 
ciens rationnels de ces équations. 
Soit par exemple une équation : 
2 
x n ax ” - 1 -f b x n ~ r -f- /■ ” = o. 
& qu’on demande la valeur de ..... 
y = A P + Bp + CP . _ . . . 
A , B , C , étant les racines de la propofée , Sc en- 
trant au nombre de m dans la valeur dey ; i°. fi p 
eft entier , on verra que Y équation qui doit donnery, 
fera d’un degré égal au nombre des combinaifons de 
n quantités prifesen nombre m; 2°.fi/>eft unefradion 
dont le dominateur foit p ' , le dégré de Y équation ra- 
tionnelle en y , fera le même nombre des combinai- 
fons de n t quantités prifes en nombre tn , multi- 
plié par p'm , & de plus , il n’y aura dans Y équation 
en y, que lestermes oit l’expofant dey fera un mul- 
tiple de p' . Si q p' eft le dégré de cette équation en y , 
on aura le coefficient dey? - 1 P égal à une fondion 
de a , b 1 . . . r n du dégré pp', le coefficient dey ? - 2 p ' 
à une fondion du dégré z p p' ; & ainfi de fuite , & il 
n’y a plus à déterminer que les coefficiens de ces 
fondions. Cette derniere partie eft celle pour la- 
quelle il eft le plus difficile de trouver des expref- 
fions générales. Nous renvoyons pour cet objet à 
l’ouvrage de M. Waring , intitulé : Meditationes Al- 
gebraicce ; aux Mémoires de M. Wandermonde ; Mé- 
moires de l’académie des Sciences, volume de 1771; 
aux Mémoires de Berlin , années 1770 & 1771 , où 
M. de la Grange s’eft occupé aufti du même objet. 
Cette théorie , une fois établie en général , & ré- 
duite à des formules dont on puifte faiftr la loi , il eft 
clair qu’on aura immédiatement & fans calcul les 
coefficiens de toutes les équations transformées qu’on 
emploie pour rabaiffer la propofée. 
Relie à favoir fi ce rabaiffement eft toujours pof- 
fibîe. M. de la Grange a prouvé qu’on ne pouvoit 
fuppofer en général que la folution d’une équation 
du dégré n , dépendît de celle d’une équation du dé- 
gré n — 1. Examinons donc s’il n’y a point d’autres 
reffources. M. de la Grange prouve que la quantité 
A , ci-deffus donnée par une équation de dégré n—i , 
n—z , n— 3 .... fera réduélible à une équation du 
degré n—z, n— 3 3. 2, 1 foit ce 
dégré m , & cherchons A comme nous avons cherché 
x , nous aurons , faifant A — V , la quantité V eft 
employée ici pour faire difparoître le fécond terme , 
m m 
VU + t/ B' , & au nombre de m — 1. A' par une I 
équation du dégré ni— 1 , m—z , m— 3 3,2,1. 
Alors il fe préfente deux cas, ou le nombre m — 1 , 
de fondions A‘ , B' , &c. fera plus grand qu’il ne 
doit être , ou il ne le fera pas dans le premier cas , 
il arrivera qu’il y aura un certain nombre des racines 
de Y équation en A' qui fe trouveront être zéro ; foit 
m ! le dégré de Y équation en A' , nous ferons A'— Vax. 
m' m' { 
I /A 11 + y/ B l( , &c. & nous aurons A 1 * par une 
équation du dégré m’-— 1 , m'-™ 2 .... 3 , 2 , 1. Si la 
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fuppofition de m *— 1 radicaux n’eft pas trop com2 
pliquée. Le dégré de Y équation en A ' fe réduira 
à m — 2 , m — 3 3 , 2 , 1 , il en fera de même 
pour A " , & ainfi de fuite. Il eft clair que pourvu 
que la valeur de x foit finie , & que l’on puifte la 
fuppofer formée par des radicaux placés fucceflive- 
ment , enforte que la valeur de x foit compofée de 
~ n n ' + x 
n — 1 termes de la forme y/ A , A de n termes y/ A* 
n " -+- 1 
plus un terme confiant , A' de n" termes y / A"\ 
plus un terme confiant , & ainfi de fuite un nombre 
fini de fois , on aura enfin la racine cherchée. Or 
il n’y a point de fonûion compofée de radicaux 
qu’on ne puifte réduire à cette forme : donc en 
fuivant le procédé ci-deffus , on parviendra à trou- 
ver enfin une quantité A , qui fera donnée par une 
équation du fécond dégré , toutes les fois qu’elle fera 
poftible. 
Maintenant il y a lieu de penfer que le nombre 
de ces opérations ne pourra être plus grand que n—i. 
En effet, foit x , égal- à une fonâion qui contienne 
des radicaux les uns fous les autres, qui ait n— 1 
termes différens femblables entr’eux , il faut qu’une 
fondion linéaire des produits & des quarrés de ces 
termes foit une quantité rationnelle. Les quarrés 
ne peuvent pas l’être, puifque les racines ne le font 
pas , & que n > 2 ; donc il faùt que les produits de 
deux termes le foient. Or cela ne peut arriver s’il 
n’y a pas dans ces termes une fondion fous le radi- 
cal 2. Il faut enfuite qu’une fondion linéaire pro- 
duife trois de ces termes , de leurs cubes , du pro- 
duit des quarrés de chacun par les autres foit une 
quantité rationnelle , les cubes ne font pas ration- 
nels; & pour que les autres le deviennent , il faut 
que chaque contienne des radicaux fous la ligne 3 , 
& ainfi de fuite jufqu’au dernier terme ; terme qui 
devient fondion linéaire des termes qui font fous la 
ligne n. On voit donc pourquoi il pourroit y avoir, 
& même il doit y avoir n — 1 radicaux fuccefîifs. 
Mais on ne voit pas pourquoi , en prenant cette 
forme , il y en auroit un plus grand nombre. 
Nous terminerons cet article par une confidéra- 
tion qui peut être d’une grande utilité. C’eft que 
mettant la propofée , fous la forme x n -f- b^ x n ~ 1 
-j-c 3 x n ~3 . . . . + r n , toutes les fondions ration- 
les fous le figne n , feront des fondions de b * 7 c 3 , r n 
du' dégré n , les fondions fous les radicaux n & n 
des fondions du dégré nn;&C ainfi de fuite ( C’eft, 
je crois , M. Fontaine , qui dans fon Mémoire fur 
les équations, a. employé le premier cette remarque, 
qui peut abréger confidérablement les calculs. ) les 
coefficiens de ces fondions feront des nombres ra- 
tionnels , & ceux des radicaux, des racines des équa- 
tions y n — 1 =0, y m — i , =0, &c. Il ne refte 
donc plus fur la réfolution générale des équations 
que deux difficultés ; i°. la longueur du calcul; 
2°. qu’il n’eft pas rigoureufement démontré qu’une 
équation déterminée d’un dégré quelconque , ait une 
racine d’une forme générale &: finie ; c’eft ce qui 
arriveroit , fi en fuivant la marche indiquée ci- 
deffus la folution de la propofée n étant un nombre 
premier , fe réduifoit à la folution d’une autre équa- 
tion du dégré n , qui n’auroit pas de divifeurs ration- 
nels , ou fi n n’étoit pas premier à une équation d’un 
dégré pour lequel Yéquation qui donne les ter- 
mes fous le radical n , ne fe rabaifferoit pas au- 
deffous du dégré n — zn— 3 3,2,1» 
Ainfi , dans le cas où la racine n’auroit aucune forme 
finie poftible , la méthode propofée ci - deffus con- 
duira encore à trouver cette impofîibilité. C’eft 
donc à diminuer la grande complication des calculs , 
& à trouver des méthodes qui les abrègent , que les 
analiftes doivent tendre maintenant. 
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