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j’ai publié quelques recherches fur ce fujet 
dans le tome V des Mémoires de £ académie de Turin . 
(0) 
Équations aux différences finies. Taylor paroît 
être le premier géomètre qui ait confidéré les diffé- 
rences finies. M. Euler a fait fur cet objet un grand 
nombre de belles & utiles recherches dansfes Injli- 
tutions de calcul différentiel ; mais il s’efl occupé 
fur-tout d’appliquer aux fuites infinies ou indéfinies, 
la théorie de ces différences , ou réciproquement. 
En effet, fion appelle X une fondion quelconque 
de x , & X ' ce qu’elle devient en mettant pour v , 
x -f Ax ( A e fl ici le ligne de la différentiation 
comme d pour les équations ordinaires) ; on a éga- 
lement X’-X + aX, & X 1 = X+^ x a x 4. 
3 
dX 
• A x h 
4. ~ 
2 dx* 1 1 . 2 . y.dx 
En effet , fi on cherche à avoir X r en X , en or- 
donnant la férié par rapport à A x , il efl aifé de voir 
qu’on peut prendre X pour le premier terme de 
cette valeur , puifqu’en faifant A x = o, X' devient 
X f le fécond terme multiplié par Ax doit être égal 
d X' 
à ce que devient — — , en y faifant a x = o, c’efl- 
dX 
à-dire à r-r ; le troifieme multiplié par deux efl 
égal à - j -™- * , en faifant ax = o, c’efl-à-dire , qu’il efl 
^ de fuite. 
Ce théorème dont j’ai déjà fait ufage à 1 * article 
Approximation, dans ce Suppl, efl dû à M. d’A- 
lembert. 
Si l’on a A X égal une fondion de x, on aura en- 
core , par le moy en de cette expreffion , X en x par 
une férié infinie. En effet , puifque A X connu , que 
j’appelle A = 
A x 3 
dX 
X + 
ddX 
X 2 -f- 
dx 1 2 .dx* 
&c. j’aurai A x X ■=. A dx — 
î 
A x 
d 3 X 
2. 3. d x 3 
A x 2 dX 
d x 
2. 5 
ddX . 
~ : , A x 
2 d x 2 - * 
di X 
d d x d x 
&c. mettant pour —■ a * fa valeur A 
d : v 1 
&c. pour 
ddX 
2 d x 
A x fa valeur d A — 
A , &c. j’aurai AT en férié de A & de fes 
2 d x 2 " 9 
différences. 
Je me propofe dans la fuite de cet article de traiter 
les équations ' aux différences finies d’une maniéré 
générale & direde. On trouvera aux articles Possi- 
bles , Maximum , Linéaires , ce qui regarde leurs 
équations de condition , ou de maximum , & la folu- 
tion des équations linéaires. J’ai montré à Ÿ article 
Approximation, vers la fin , que leur folution 
approchée dependoit toujours d équations linéaires , 
& je me bornerai ici à donner une théorie générale 
des équations aux différences finies des fondions qui 
peuvent entrer dans leurs intégrales , & de la ma- 
niéré de les trouver rigoureufement autant qu’elles 
font poffibles par la méthode des coéfficiens indé- 
terminés. 
Soit Z , une fondion de x- , y , £ , qu’on mette dans 
Z au lieu de x , x au lieu de y,y-jr ^ y au lieu 
de 1, l + A ^ , & qu’on appelle Z ' ce que devient 1 ; 
alors on aura Z ' = Z + a Z & A Z ~ Z ' ~ Z, 
Si on a une fondion de x,y, A x , A y^ a ^ a*j ? 
a , &c. a étant fuppofé confiant , on mettra dans 
cette fondion Q , x -j- a x , au lieu de x , y 4- A y 
pour j , pour ç, Aj + a *y pour Ay , A^ 
+ pour A A 2y 4, A 3 y pour À 2 y, A 2^ 4. 
A 3 i pour A2^^ ainfi f u j te ? appellantQ ' ce 
^ u ^devient alors Q , on aura Q ' = 4. A Q. A Q 
Soit Z - i x , 
_______ , on aura Z 
s=: 4- A # — L x ~ l " + A * 
l x 4 ~ A x 8 >C A 
A x 
EQÜ 
837 
= 1 1 4- 
Soit Z — e àx i Z f - + ~e à A # e à x : dons 
S Z ~ {e a Ax i) e ax ; donc A x étant confiant 
A Z == o toutes les fois que e aAx — î. 
Soit Z — e ax% + bx + c Z ' =z= e a x * + b> x + &Z 1 
4 * A Zfi = 2" + lorfque A x efl 
fuppofé confiant. 
On trouvera de même que foiî Z une fondion de 
cff'x &te a ff x =i,Z l =-Z i pourvu que cette fonc a 
tion ne foit pas telle que pour avoir e aAx — 
il faille prendre aA x ~o, ce qui arr i ve roit fi Z 
s= le ax 9 ou (e ax ') m , ou contenoit de pareilles 
4 a x ax A Ax 
fonctions. Soit enfin Z z=e Ne Z' xze Nc | 
donc fi a* efl un nombre entier, la comparaifort 
de ces deux équations peut faire évanouir cette tranfi 4 
cendante , de même la comparaifon de 3,4, &c«> 
équations femblables , feroit difparoître e axe t 
2 b x 
e ax e ? S'Ci 
Si maintenant on veut réfoudre îe problème fui-* 
vant , trouver l’intégrale fans différences variables 
d’une équation aux différences finies , on y parviendra 
à l’aide des obfervations fuivantes. 
i°. La propofée efl produite par la comparaifon 
des équations Z — o -, A Z — o, ^ 2 -Z— o^^ n Zz=zOt, 
2 0 . Il n’y a point de fondion tranfcendante de 
8 c y dont la différence ne le foit , ou n’en contienne 
une nouvelle. 
3 °. x étant une variable dont la différence A x 
efl confiante , au lieu d’une arbitraire fans variable , 
on aura une fondion arbitraire de e ax , a étant tel 
que e a Ax = i„ 
40. Une feule différentiation pourra , par la cOîtn 
paraifon entre la différentielle & l’intégrale , faire 
évanouir un terme eP x , p étant quelconque , & la 
fondion arbitraire fera le coefficient de ce terme» 
Deux différentielles fucceffives , comparées avec 
leur intégrale, peuvent faire évanouir un terme 
e axl + bx ,a & Jetant quelconques & déplus un 
terme t h ' x , b ' étant donné en a & b , & ainfi de 
fuite. La comparaifon de l’intégrale avec la différent 
a x 
tielle peut faire auffi difparoître e Ne , & la com« 
paraifon de l’intégrale avec deux différentielles fuc- 
b x 
ceffives , faire difparoître e ax « , & ainfi de fuite 0 
5 0 . Quoique la propofée ne contienne pasA„ r? 
cependant l’intégrale de l’ordre immédiatement in- 
férieur, peut contenir * , parce que la différentielle 
exade peut contenir un terme confiant a = a '"' x 
Ax 
dont l’intégrale efl — A-. 
0 A x 
6 °. Si dans un produit indéfini Fx . F x - ix, F x-* 
1 A x... le nombre des termes étant -ff ou — ; n’étant 
un nombre entier, on fait x-=.x-\- A x , ce produit ne 
change pas de forme & efl feulement multiplié par 
F x 4- A x , ou par F x ^ x. F x 4- îAx,.,, Fx 
4- n A x ; donc fi on l’appelle X , on aura 
— Fx-\- A x, ou F at 4- A x, F x 4 - 2 A x ... en nombre 
déterminé & fini , donc une feule différentiation peut 
faire difparoître un nombre déterminé de ces pro- 
duits multipliés ou divifés les uns par les autres , en 
même tems qu’une exponentielle & une fondion ar- 
bitraire , & de même deux différentiations peuvent 
faire difparoître une fondion 
2 3 
Fx,Fx — A x , Fx— 2 A* , &c t 
7 0 . Si la propofée contient des radicaux dans fon 
intégrale immédiatement inférieure , en différentiant 
la propofée, on aura une équation qui aura deux in- 
tégrales rationnelles de l’ordre immédiatement in- 
férieur. 
8°. Le nombre des arbitraires efl égal à l’expofant 
i 
