J 
S33 E Q ü 
de l’ordre de la propofée; mais on ne peut pas -lui 
fuppofer en général n intégrales algébriques de l’or- 
dre n — i . En effet , on a d’abord le terme e ax ~ qu’une 
feule différentiation ne pourrait pas faire difparoître, 
ainfi lorfque f intégrale de l’ordre n~% doit le con- 
tenir , une des intégrales de f ordre n — i le conter 
fiant auffi, fa différentielle exade contiendra e b ‘ x . 
D’ailleurs ( 2 étant le figne de l’intégration par 
rapport aux différences finies , & F x défignant une 
fondion donnée de x), l’intégrale de l’ordre n — 1 
petit contenir 2 F x , & cette fomme peut ne pas 
être exprimable en termes finis , par une fondion 
finie de x; alors fi l’intégrale de f ordre n — % con- 
tient 2 F' x , & que F' x contienne 2: F x , il paroîf 
impoffibîe d’avoir deux intégrales de l’ordre n — 1. 
Mais fi on peut égaler sFxà une fondion finie de 
x&lF x plus une fondions F" x, F n ne contenant 
plus Fx , on aura alors les deux intégrales-, & comme 
de telles fondions peuvent entrer dans la différen- 
tielle exade , fans que x foit dans la propofée , on 
me pourra fuppofer qu’on ait n intégrales de l’ordre 
n — \ qui puiflenî la produire fans contenir x & e b '* y 
71 
ou e b " x , &c. dans leurs différentielles exades , ou 
même des produits indéfinis. 
9 0 . Il fuit de-là qu’il faudra ou fuivre îa méthode 
des intégrations fuccefîives , ou bien , lorfqu’on aura 
une équation, intégrale de l’ordre n—i qui contienne 
a x 
x ou eP x , ou un produit indéfini , ou. e Ne , füppo- 
fer une autre intégrale du même ordre contient x 
ou eR*, ou la fondion indéfinie, & de plus e ax ' L + b ' x 
& une fondion indéfinie qui (/2 0 . 6) peut difparoître 
par deux différentiations , ne devient la propofée 
qu’en mettant au lieu de celles de cps quantités qui 
refient après avoir comparé cette nouvelle inté- 
grale avec fa différentielle , leurs valeurs tirées de 
V équation intégrale qu’on a trouvée d’abord , & fi la 
1 + b X 
nouvelle intégrale contient e ax , &c. on fup- 
pofera que e a x 2 -f ^ x ? entre aufîi dans la troi- 
fieme intégrale , & ainfi de fuite. 
9 0 . On obfervera que , 
Z = xAZ-^ 
zx. x A{-AxZf AZ, 
io°. Pour intégrer la fondion en x purs , on re- 
marquera que la différentiation n’en ayant pu faire 
évanouir ni radicaux , ni fondions tranfcendantes 
toutes les fois qu’elle pourra être exprimée par une 
fondion finie , cette fondion fera une fradion ra- 
tionelle de x & des fondions de x contenues dansia 
différentielle , <k 011 l’aura toujours en férié infinie 
par la méthode dont j’ai parlé au commencement 
de cet article. 
1 1°. Si une équation propofée contenoit des quan- 
tités tranfcendantes , alors il faudroit les regarder 
comme fondions algébriques de nouvelles variables 
§£ de leurs différences , enforte que les regardant 
fous ce point de vue la propofée foit encore poffible. 
Quel que foit une équation aux différences finies , 
ces principes fuffiront pour l’intégrer par la méthode 
des coéfficiens indéterminés. 1 
Quant aux intégrales qui échappent à cette mé- 
thode , on peut dans différens cas trouver des formes 
de fondions qui les repréfentent ; mais cette difcuffion 
nous entraînerait trop loin. 
Si au lieu de favoii* que a x efi confiant , on favoit 
qu’il e fi égal à <?, fondion de x & y, il n’y auroit 
qu’à éliminer y , & on auroit x par une équation 
comme ci-deffus, dont l’intégrale contiendrait une 
nouvelle variable x\y ferait donné par une équation 
femblabîe , & pour avoir y en x, il faudrait élimi- 
ner x fi (0) 
ÉQUATIONS aux différences finies & infiniment pe~ 
E Q U 
tites. le donne ce nom à des équations quieonfiennenf 
outre les variables^, & x leurs différences finies & in- 
finiment petites , telles que Ex, Ey, Ax, Eÿ, A a y 
d Av, E -y... A n y, d A n - 1 y ^ & c . Aucun géomètre 
n’a encore confidéré la théorie de ces équations » 
Voici quelques remorques fondamentales qui pour-* 
ront conduire à une méthode de les réfoudre géné- 
ralement. 
i e . La propofée pour un ordre n de différences 
pourra , fi Z en efi l’intégrale Cômpletté & finie 
être mife fous la forme 
a Z-f- b d Z-\- c A Z-f ed^Z-\-fdAZ-\~d A 
-bp d»Z ......f ^A«Z= O. 
H fuit de cette forme femblabîe à celle des difféten- 
ces partielles , que la propofée n’â point pour inté- 
grale néceffaire une équation de l’ordre n — i , dont 
les différentielles combinées entr’eiîes produifent la 
propofée. 
1°. A x étant fuppofé confiant, les quantités e àx p 
t P b x 
étant un nombre entier , one ax e , e b * x étant 
un nombre entier , font les feules qui fe trouvent 
également dans Z , Z -J- A Z , Z -f- E Z , & par con-*’ 
féquent fi dans la propofée p 6c q (n° 1 ) ne font 
pas égaux à zéro , c'eft-à-dire, fi la propofée con- 
trent à la fois des différences n es finies & infi^ 
niment petites , l’intégrale ne contiendra point d’auj 
très tranfcendantes ni d’autres arbitraires que deg 
fondions fans variables, p pourra être égal à 
mais jamais plus grand , Sc femblablement pour les 
f b x 
fondions e a x « p ne pourra être > Ll.l.i.1 __ T - 
3 °- Sija propofée efi telle que les équations A n Z 
~ o E Z — o n entrent pas dans fa formation , mais 
feulement les équations 'A n ~ m Z = 0 E n - m ' Z — q 
& des équations aux différences , partie finies , par- 
tie innniment petites. Alors on pourra avoir uno 
intégrale qui contiendra m tranfcendantes quelcon- 
ques , ou un plus grand nombre de tranfcendantes 
en x feulement, & telles que l’une étant une autre 
foit f-f i F, & ainfi de fuite, ce nombre étant tou- 
jours facile à déterminer pour chaque ordre, & m r 
arbitraii es pareilles a celles des équations aux diffé- 
rences finies , c’efî-à-dire , qu’on aura pour inté- 
grale une fondion algébrique des variables & de 
leurs différences infiniment petites , dont les coeffi- 
* a f 
ciens pourront etre e* x , 6c en général des fondions 
Q de x données par des équations aux différences 
finies entre x & Q. 
Voyez fur ce fia jet les Mémoires de f académie des 
fciences , année 1771. 
Voyez auffi b article Équations LINÉAIRES an 
mot Linéaires , dans ce Supplément , où l’on con- 
fédéré quelques autres hypothefes d ’ équations aux 
différences finies, (o) 
Équations empiriques. On a nommé ainfi des 
équations trouvées indépendamment de toute théo- 
rie 6c d’après les feules obfervations d’une planete, 
& comme elles repréfentent avec exaditude le 
mouvement de cette pianote pendant les révolu- 
tions obferyées , on en conclut qu’elles pourront les 
repréfenter indéfiniment. 
Ainfi les équations de mars,îelles que Kepler les 
détermina lorfquil trouva moyen d’expliquer les 
irrégularités qu’il avoit obfervées dans fon cours, eu 
fuppofant que fon orbite étoit elliptique , ces équa- 
tions , dis- je, étoient empiriques. Mais lorfqu’en ap- 
pliquant cette loi aux autres planètes , il prouva que 
leurs orbites étoient auffi des ellipfes , alors leura 
équations trouvées d’après cette bypothefe furent des 
équations données par îa théorie , <& non plus des 
équations empiriques. Ainfi, une équation à qui on o 
