EQU 
donné îong-tems ce nom , cefie de l’avoir îorfqifion 
trouve une théorie qui en rend raifon. 
M. Wargentin a trouvé des équations empiriques 
pour les fateliites de jupiter , d’après ces obfer va- 
lions feules & d’après ces équations , il a dreffé des 
tables de ces fateliites qui repréfentent leurs moa- 
'vemens avec des erreurs qui ne vont pas au-delà 
'de quelques minutes. 
M. de la Grange eft le premier qui/ait imaginé de 
déduire en méthode générale l’art de trouver ces 
équations empiriques. Voici une idée abrégée de 
cette méthode. 
i°. Toute expreflion d’une quantité donnée par 
une équation différentielle , peut être fuppofée égale 
à une fuite de termes enfinus & cofinus ( Voyeq les 
articles Approximation & Équation sécu- 
laire , Suppl . ). Le problème fe réduit & doit trou- 
ver cette férié par les feules obfervations, toutes les 
fois du moins que cette férié eft, convergente. 
2°. Dans ce cas , un certain nombre fini de termes 
de cette férié doit repréfenter les obfervations. Soit 
donc Q la quantité dont on cherche la valeur, foient 
Z , Z ' , Z" , Z Z n des valeurs obfer- 
vées de Q répondant à n valeurs de l’angle décrit x 
ou du tems t , nous aurons Z ( ’n° i) égal à un nom- 
bre fini de termes , fin. a ' + b ' X, ou fin. a + b T 
cof. a 1 -j- b 1 X, ou cof. a + b T, chacun de ces ter- 
mes étant multipliés par un coefficient confiant, AT & 
T font les valeurs de x t , correfpondantes à Z. 
Soient maintenant X-\-p,X-\--ip^X-\-^ p , &c . 
les valeurs correfpondantes kZ',Z !l , Z /f/ , &c. & 
prenant une férié Z Z 1 y -\-Z " y *-\-Z'" y 3, &c. 
(A) le terme général de cette férié fera compofé de 
termes cof. a' -j- b' X -\-b' p m, fin. a ' + b ’ X-j~ b 
pm,m étant l’expofant du terme général ; or, puif- 
que fin. a ' -f- b ' X p m = 
(a ' -b b' X + b ' p m) 1/ — ï — ( a' -b b' X + b ‘ p m) — i 
e — e 
2/-I 
& que cof. a' -j- b ' X-\-b' p m — 
r 
[a ' b X -f - b p 771} \/ — 1 — ( æ 4 * i ^ X -f* b' p m 
e -+- e 
2 
11 eft aifé de voir que le terme général (^/) fera com- 
pofé d’un nombre 2 n de termes , dont chacun fera 
égal au terme correfpondant dans le terme précé- 
dent de la férié multipliée par e è V-i ? e ~ b ' p v '- 1 
donc chaque terme formera une fuite géométrique ; 
donc la propofée fera égale à la fomme de 2 n de ces 
fuites , & le dénominateur de la férié récurrente 
fera 1 — eP h ' * / ~ 1 9 1 — e & ainfi de fuite 
pour chaque finusou cofinus ; donc le dénominateur 
fera 1 — 2 , cof. b ' py+y l X 1 — 2 cof. b " py+yy 
&c. donc la férié Q 4 ) fera récurrente ; foient donc 
Z, Z', Z", Z &c. les valeurs données par l’ob- 
fervation , il faudra donc chercher la férié récur- 
rente de cette forme , dont Z-j-Z'y -J - Z " y 1 + 
Z " 1 y 3 , &c. font les premiers termes pour cela ; je 
remarqué que la fomme de la férié récurrente fera 
néceflairement 
A B y C y 1 -f- D y 3 P y m - x m 
A' -J- B' y -{- C' y 2 -f* D' y> P' y m . 
donc prenant toujours Z en nombre impair , foit 
a m — 1 le nombre , on aura par des équations linéai- 
res les valeurs des A, B ...P,... A' B' ...P', & fi 
ces valeurs forment une férié convergente, lorf- 
qu’on augmente le nombre des obfervations , alors 
prenant le dominateur, on cherchera à réfoudre 
I équation A ' -\-B 'y . . . P ' y m — o en faéleur 1 — 
2, cof b' p y -j-y 1 , on mettra enfuite 
A -\-B 'y q- C y a 
A ' + B' y ...... P' y m 
fous la forme d’une fomme de fractions divifées par 
ËQÜ 
ï — 2 cof. b py + j 2 , & l’on aura, par ce^ moyen la 
détermination des coefficiens des termes en finuSo 
Au refte , fi ï équation n’eft pas fufceptible de la 
forme ci-defius, les racines indiqueroient dans la 
forme générale cherchée des quantités ef x qu’on 
fait pouvoir s’y trouver. S’il y a plufieurs racines 
réelles égales, alors il y aura dans la valeur cherchée 
des quantités proportionnelles aux puiffances dex, 
& ces puiffances feront d’un dégré égal au nombre 
des racines égales diminué de l’unité. 
Si ces racines égales font de la forme 1 — 2 cof. 
P b 4 -y 2 5 alors cela indique dans la quantité cherchée 
des termes de la forme x m co(. a + bx, & ainfi de 
fuite, enforte que quelle que foit la forme cherchée, 
pourvu que la quantité foit donnée pour une équa- 
tion différentielle , & qu’elle puiffe être repréfentée 
par une certaine étendue de valeurs d’une maniéré 
approchée , on la trouvera d’après les obfervations 
par la méthode ci-defius. (0). 
Équation séculaire. On appelle ainfi enafiro- 
nomie une équation qui augmente continuellement 
avec le tems; toute équation au rayon reèleur d’une 
planete proportionnelle , foit au tems ou à fes puif- 
fances , foit à l’angle du mouvement moyen & à fes 
puiffances, efi une équation féculaire . 11 en efi de 
meme de toute équation du moyen mouvement qui 
feroit proportionnelle au quarré du tems, ou à fes 
puiffances fuperieures : or , de toute équation pour 
le tems proportionnelle au quarré ou aux puiffances 
de l’angle du moyen mouvement. 
A ï* article Approximation dans ce Suppl, nous 
avons montré que l’exiftence apparente de ces équa- 
tions dépendoit dans la théorie de l’égalité des raci- 
nes d’une équation , qu’un changement permis dans 
toute efpece de méthode d’appproximation pouvoir 
faire difparoître cette égalité ; que dans le cas où la 
différence des racines feroit très-petite, ce même 
changement pourroit en introduire d’égales : qu’ainfi 
dans ce cas , on ne peut être fur qu’il n’y ait pas 
dé équation féculaire, & que jamais on ne peut être 
certain qu’il doive y en avoir, à moins que l’on 
puiffe s’affurer que la férié où la méthode d’approxi- 
mation conduit, ne foit convergente, lorfqu’elle ren- 
ferme l’ équation féculaire , 6c divergente lorfqu’ellé 
11e la renferme pas , ou réciproquement. 
Il ne nous refie donc plus ici qu’à parler de X équa- 
tion féculaire , confédérée afironomiquement. Quel- 
que longue que foit une fuite d’obfervations , elle 
ne prouve rien pour la réalité d’une équation féculaire . 
En effet, foit p le nombre des révolutions obfervées 
d’un aftre , il eft clair que puifque cof. m x=. 1 
m 2 x ^ . m 4 x 4 
+ 
2.3.4. 
&C. 
Si on a une équation apparente proportionnelle 
au quarré de l’angle parcouru , c’eft-à-dire à x 2 , & 
foit Px 7 -, cette équation au bout de p révolution 
elle fera P p 7 - n 2 , n étant la circonférence du cercle, 
elle fera par conféquent 
„ I — cof. m pTI J, p 4 TT 4 _ 
2 P — -{-P m* e — — , &c. 
m 2 2. 3. 4. 
or, cette férié efi toujours plus petite que P m 7 -^- 4 
p 4 , cof. mpU; donc , pourvu que l’on prenne m tel 
que la quantité P m 2 n 4 p 4, cof. m p n , foit infen- 
fible aux obfervations ; on peut fuppofer au lieu de 
1 1 / . t, , . j 2 P x — cof. m x r 
équation P x* , une équation de , fans 
qu’il y ait d’erreur fenfible : or, quel que foit 011 
peut toujours prendre m affez grand pour cela ; donc 
on peut repréfenter aufïï bien les obfervations fans 
le fecours d’une équation féculaire. 
Quelle que foit une équation féculaire donnée par 
les obfervations , on parviendra donc à la repréfenter 
auffi bien par une ou plufieurs équations proportion- 
nelles à des finusi 
