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Ton réduit toutes les forces à un ceftain nombre 
de filets femblables & égaux entr’eux, qui par la 
faculté qu’ils ont de fe raccourcir, composent la 
force même. Ainfi, lorfque le corps efi en équilibre , 
il faut que les filets de toutes les forces qui agilfent 
fur lui , foient dans leur plus grande contraction , 
conformément à l’axiome ci-deffus. Car , s’ils pou- 
voient encore fe contracter , ils le feroient , & le 
corps ne feroit pas en équilibre. Donc fi le corps 
eft en équilibre , la contraction de tous les filets efi: 
la plus grande , ou ils n’en fauroient recevoir au- 
cune , ou ce qui revient au même , la fomme de 
toutes les forces follicitantes efi: la plus petite. 
Telle efi; donc la réglé générale, pour trouver 
quel doit être l’état des corps follicités par des forces 
quelconques , pourvu qu’elles ne varient point fui- 
vant la difiance , afin qu’ils foient entr’eux en équi- 
libre. Suivant cette réglé , on considérera chaque 
force à part , on prendra fur fa direction un point 
fixe , & on multipliera la force par la difiance de ce 
point au lieu de l’application de la force , ou par la 
difiance qu’il y a de ce point au corps fur lequel 
elle agit. On affemblera enfuite tous ces produits; 
& la fomme qui en réfultera , fera un minimum dans 
le cas cl équilibre. Et réciproquement on pourra dé- 
terminer par la méthode des plus grands & des plus 
petits , l’état d 'équilibre , lorfque les forces font 
confiantes , ou que la quantité N , qui a exprimé 
jufqu’ici la force , ne dépend point de la quantité v 
qui a été xonfidérée comme la variable. 
La force de la gravité efi de ce genre , car fa 
variation efi infenfible à de petites difiances de la 
terre. Si donc on confidere un corps A B , fig. j 7, 
dont les parties M ne font follicitées à fe mouvoir 
que par FaCtion de la gravité , Suivant la direction 
verticale MP , que l’on prenne à volonté fur 
cette ligne un point fixe P , qui foit dans l’horizon- 
tale NN; on fera la difiance M P =. x ; nom- 
mant la maffe de la particule M , d M , ce d M 
exprimera en même tems le poids de la particule 
M, ou la force avec laquelle elle efi follicitée à fe 
mouvoir Suivant MP: donc .v d M efi dans ce cas 
le produit qu’il faut mettre à la place de Nx , pour 
cette particule ; & partant la fomme de tous les 
xdM qui réfultent de tous les élémens du corps , 
fera la plus petite , lorfque le corps fe trouvera 
en équilibre. Mais on fait que la fomme de tous les 
xdM exprime le produit du poids entier du corps, 
par la difiance de fon centre de gravité à la même 
ligne horizontale N N. Si donc on fuppofe que M 
foit le centre de ce corps , le produit MxG H , qui 
efi égal à la fomme de tous les xdM , fera un 
vûnimum en cas à' équilibre. D’oii l’on voit que les 
corps pefans ne fauroient être en équilibre , à moins 
que leur centre de gravité ne foit aufli bas qu’il efi 
poffible. 
La démonftration que l’on vient de donner du 
principe de Y équilibre, fuppofe quel’aâion des forces 
fur les corps ne varie point , à quelque difiance 
qu’elles en foient. Car fi les forces ne font pas conf- 
iantes , il faudra fuppofer le nombre des filets va- 
riable pendant qu’ils fe contra&ent, puifqu’on les a 
envifagés comme confervant toujours le même pou- 
voir. Voici comment il faut envifager la chofe dans 
le cas ou la force varie fuivant les difiances. La force 
repréfentée par Nx; doit être décompofée en fes 
élémens Ndx ; & comme N , qui repréfente le 
nombre des filets à chaque difiance Pat, efi variable, 
qu’on fuppofe ce nombre = P, on aura Pdx pour 
l’élément de la force : donc l’intégrale S Pdx fera 
la jufie valeur qui doit être mife à la place de N x , 
quand la force efi variable. 
Afin de répandre un plus grand jour fur ce fujet, 
il faut eonfidérer comment les formules Nx. que 
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les forces confiantes donnent, deviennent un minU 
mum. Cela arrive, lorfque leurs différentielles N dx 9 
prifes enfemble , évanouiffent : mais dans ces diffé- 
rentielles , il n’eft plus queftion fi la force N efi 
confiante ou non. Donc fi la force efi variable , 
& qu’elle foit ~ P, on aura Pdx , au lieu de Ndx , 
dont la fomme doit être égalée à zéro ; par confis- 
quent , la formule qui devient un minimum en cas 
d équilibré , doit être compofée de celles-ci S P dx 9 
que l’on doit tirer de chacune des forces follicitantes; 
d’oii l’on voit que dans le cas des forces confiantes, 
ou de P=A r , on aura les mêmes formules Nx , pour 
rendre un minimum , que celles que l’on a trouvées 
ci-deffus. 
Tel efi donc le principe univerfel qui convient 
à tout état $ équilibre. En vertu de ce principe , il 
faut eonfidérer féparément chaque force qui folli- 
cite le corps à fe mouvoir : fuppofez que ces forces 
foient = P Q R, &c. & que les directions fuivant 
lefquelles elles agiffent fur le corps M,fig. S , foient 
AF, B G ,C H; prenez à volonté fur ces directions 
les points fixes F, G, H; & nommant AFx, BGy 9 
CHi, on aura pour l’état d’équilibre SPdx+SQdy-{- 
SRd^-j- ÔCc, qui doit être un minimum. Pour la com- 
modité du calcul , il convient de placer les points 
fixes F, G , IT, dans de certains endroits plutôt 
qu’ailleurs : ainfi dans le cas des forces centrales que 
1 on exprime par de certaines fondions de la difiance 
à leurs centres de forces , il faut placer ces points 
dans les centres mêmes. Alors P, Q, R, &c. pou- 
vant être exprimés par ces quantités a x n , fiy n , y ^ , 
&c. 1 expreflion dont l’on devra faire un minimum , 
fera , — — — x n + 1 -4- — y « + x -1 1 — * n + x _l /l c 
7 Tz-t-i ‘ n+ 1 u r n+1 1 \ 
&cela s’obfervera dans tous les cas femblables. 
Comme la force P fournit dans tous les calculs 
une quantité pareille à celle-ci S Pdx , fi on nomme 
effort l’intégrale de cette quantité réfultant de la 
force P , on pourra renfermer le principe général 
d’équilibre dans cette réglé bien fimple : 
La fomme de tous les efforts que des forces font fur 
un corps , doit être un minimum pour que ce corps foit 
en équilibre . 
Lorfque le corps dont on cherche l’état d’ équilibre; 
efi flexible ou même fluide, il en faut eonfidérer tous 
les élémens féparément, de même que les forces 
qui les follicitent, pour en tirer d’abord tous les 
efforts que chaque élément foutient. Enfuite on 
trouvera par le calcul intégral la fomme de tous 
ces efforts , ou l’effort total que le corps éprouve, 
de laquelle on fera un minimum , qui indiquera alors 
les conditions requifes pour que le corps foit en 
équilibre . 
Il faut remarquer qu’il n’eff pas néceffaire d’ in- 
troduire dans le calcul de Y équilibre , les forces qui 
attachent le corps à quelque objet fixe, ou qui le 
tiennent arrêté. Ainfi, fi on veut trouver par cette 
méthode la courbure d’une chaîne fufpendue , on 
ne fera pas attention à l’effort que fouffrent les 
clous auxquels la chaîne efi fufpendue ; & lorfqu’il 
efi quefiion de Y équilibre d’un fluide renfermé dans 
un vaiffeau, il n’efi pas néceffaire de eonfidérer les 
forces avec lefquelles le fluide preffe le vaifléau. Il 
fuffira , dans l’un & l’autre cas , de eonfidérer les 
feules forces de la gravité , pour en déterminer l’état 
d’ équilibre. La raifon de cette diftinélion efi aifée à 
comprendre , par la maniéré d’envîfager l’a&ion des 
forces, favoir, dans la contra&ion des filets. Ainfi , 
s’il y a des forces auxquelles le corps ne fauroit 
obéir , comme celles qui le tiennent à quelque objet 
immobile , elles n’entreront point dans le calcul , 
mais feulement celles qui peuvent imprimer quel- 
que mouvement au corps : on en prendra les efforts, 
comme on l’a déjà dit , & faifant des fommes un 
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