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F R A 
marbre ou de pierre commune , longue de quatre ou 
cinq pieds , large d’un bon pied & demi , qu’on met 
devant Pâtre du feu pour la propreté ; ainfi l’on dit , 
un foyer de marbre ; un foyer de pierre , pour défi- 
gner, non Pâtre de la cheminée , mais cette piece de 
marbre ou de pierre qui eft devant Pâtre , & fait 
faillie hors de la theminée au niveau du parquet. 
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FRACTIONS continues. ( Algèbre . ) Ceft à 
mylord Brounker qu’eft due l’invention de cette 
efpece de fériés. Il donna pgr ce moyen une valeur 
approchée du rapport de la circonférence du cercle 
au rayon. 
Huyghens a perfeélionné cette théorie, qu’il vou- 
loit appliquer à la méchanique pratique. MM. Euler 
& de la Grange s’en font occupés depuis avec fuccès , 
& le dernier l’a très-heufeufement employée, foit 
aux méthodes d’approximation pour les équations 
déterminées , foit aux problèmes indéterminés. 
M. Waring s’en eft aufti fervi pour le même objet. 
Voyez Introduclio ad analyfim infinitorum ( M. Eu- 
ler.) ; Meditationes algebraïcce ( M. Waring. ); les 
Mémoires de Pétersbourg , tome XI ( M. Euler. ) ; ceux 
de Berlin, tomes XXIII & XXIV( M. delà Grange.); 
& les additions à la traduction françoife des èlémens 
d' Algèbre de M. Euler ( M. de la Grange. ) 
i°. On a donne le nom de fraction continue à l’ex- 
preftion a -f — 
b +— 
+ T » 
qu’on voit être générale , fi on regarde les nombres 
b , c , d , &c. comme pouvant être fractionnaires , fi 
la férié eft numérique , & comme des fondions 
quelconques , fi elle eft algébrique. 
Si on s’arrête au premier terme , la valeur de cette 
expreftion eft a , fi ait fécond elle eft a - ^ + 1 , fi au 
troifieme elle eft > & en général pour un 
terme quelconque. Si on appelle P la valeur du 
terme précédent, après y avoir fubftitué b pour a , 
c pour b , d pour c , & ainfi de fuite , elle eft exprimée 
par — - — , & comme P = nous aurons ce terme 
exprimé par * On trouvera encore que fi on 
défigne les valeurs fucceffives de la fraction continue 
par ir » on aura en général A B' — A' B; 
A' B rr — A" B ; &c. = ~ alternativement Sc com- 
mençant par le ligne — . 
2°. Cela pofé , il eft aifé de voir que fi on appelle 
x, xf x ", x"f &c. les valeurs fucceftlves de la 
fraction continue , on aura fa vraie valeur égale à la 
férié x -J- ( x ' — x ) 4 ~ ( x " — x' ) -j- (x 111 y-, x") 
ô"c. dont le terme général— ~ — , M'étant la va- 
leur de M dans le terme précédent , le ligne -f- 
ayant lieu pour les termes 1,2,4, 6,8, &c. &le 
ligne — pour les termes 3,5,7, &c. 
3 0 . Si donc nous avons une férié x r= a-b + c 
— D -j- E , &c. que nous voulions la réduire en 
fraction continue , nous aurons A= a 4 - r. B—d -» 
J 1 b » b. b e -t- x 
c - TTTlTTTdXbTl > & ainfl de fuite » d ’ oü l ’ on voit 
que l’on a b , c, d 9 &c. par des équations linéaires, 
& par conféquent la férié continue cherchée. 
4 0 . Delà il fuit que fi j’ai une fondion quelconque 
de fractions continues données , je pourrai en les or- 
donnant comme ci-delfus , avoir cette fonction ex- 
primée par des termes A B , C 9 D 9 E , &c. enforte 
qu’elle foit égale à A — B 4 r C — D-\- E , &c. & que 
A ne contienne que les premiers &c féconds termes 
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àtS fractions continues , B jufqu’auxtroifiemes, C juf- 
qu’aux quatrièmes & ainfi de fuite , de maniéré que 
l’on aura ( n° 3 ) la fondion exprimée par um frac- 
tion continue , dont le terme n 1 ne contiendra que 
les n premiers termes des fractions continues données. 
Mais comme il faut i°. que les fractions continues 
forment une férié convergente , c’eft-à-dire , que 
les b 9 c y d, &c. > 1 ; 2 0 . qu’ils foient même en- 
tiers , s’il eft poftible, parce qu’alors chaque valeur 
de fractions continues donne les limites les plus ap- 
prochées delà valeur totale en nombres aufti petits ; 
on ne peut regarder ce moyen de réduire une fonc- 
tion de fractions continues en une feule fraction con- 
tinue comme vraiment générale. 
50. Soit une férié continue — — — — - — «, 
b +JL 
a -k 
b -*-JL x 
a+ ~ 9 
&c. que fa valeur foit x , on aura x = a-\- i 
b+—. 
x 9 
d’où b x 2 — ab x — az=.o , dont toute fraction con- 
tinue périodique repréfenîe la racine d’une équation 
du fécond degré. 
6°. Les deux racines de cette équation font f a 
—\f ~ b — -g- a 2 7 & elles feront repréfentées la pre- 
mière par la férié -f- ~ -f d 
b + ~ 
la fécondé par la férié d~ — ~ — A 
* + T, de. 
b + 
a + — c 
b , Crc. 
& la valeur de cette fécondé férié étant x , on aura 
b + 
qui donne la meme équation du fécond degré que 
ci-deffus, comme cela doit être. 
7 0 . Soit prife l’équation x = x 3 -j- C" x 2 -f B" x 
4 r A" y & que x foit une fraction continue , je mets 
cette fraction fous la forme A— B 4- C— JD... &: j’ai 
x 3 4- C" x 2 -j- B" x 4- A" égale à une fomftion de a, 
byc,&c. que je puis mettre fous la formel' — B' + 
C' — D ', &c. & elle fera telle que B' ne contiendra 
C qu’au dénominateur & au premier dégré , C ne 
contiendra D qu’au premier'dégré & ainfi de fuite ; 
faifant donc les équations A*— A 9 B’ — B,C — C 9 
on déterminera les coefficiens A ", B" y C " 9 & on aura 
enfuite les équations D = D ',£ = £' , &c. qui don- 
neront les e , les /, &c. par des équations linéaires , 
& par conféquent on aura les conditions, pour qu’une 
fonction continue, dont les quatre premiers termes 
a , b y Cyd font donnés , puiffe repréfenter la racine 
d’une équation du troifieme ordre. 
8°. Si A", B", C'f font connus , les équations 
B — B 1 =z o , C— C' — o y &c. donneront c, d 9 &c. 6c 
l’on aura une équation en a, b 9 A", B", C". Oa 
cherchera de valeurs de a & de b entières qui réfol- 
vent cette équation d’une maniéré approchée ( Voyez 
V article Approximation , Suppl. ) ; on fubftituera 
les valeurs dans l’équation en a , b, A'f B'f C'f <k 
foit R le refte , on prendra B — B ' + R = o au lieu 
de B — B ' — o pour déterminer C, & ainfi de fuite, (c?) 
Fractions décimales périodiques, ( Aritk .) 
Quand on réduit en décimales une fraction dont le 
dénominateur n’eft pas de la forme i n . 5?, ou n’efi: 
commenfurable avec aucune puifîance de 10 , la 
fraction décimale qui en réfulte doit néceflairement 
aller à l’infini ; mais il ne s’en enfuit pas qu’on foit 
obligé de faire continuellement la divifion efteéfive 
pour approcher toujours davantage de la valeur 
réelle de la fraction propofée ; car les mêmes chiffres 
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