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doivent revenir au bout d’un certain nombre de 
di vidons & doivent fe préfenter dans le même ordre : 
en effet, quel que foit le dénominateur D , non cli- 
vilibîe par 2 ni par 5 , il ne peut y avoir dans la divi- 
fian que D ~~ 1 réfidus différons; or, dès qu’on re- 
tombe dans un réftdu qu’ori a déjà eu, il eft clair 
qu’on retrouve auffi dans le quotient les mêmes dé- 
cimales , de forte qu’on n’aura jamais befoin que de 
faire tout au plus D — 1 divifions pour connoitre 1 ^ 
fra&ion décimale équivalente à une fraction ordinaire 
donnée. Ces fractions' fe nomment périodiques ou 
circulantes ; on s’apperce vra facilement qu’elles four- 
niffent matière à plufieurs recherches , non feule- 
ment de curiofité , mais fort utiles en même tems, 
vu le grand ufage qu’on fait de plus en plus du calcul 
décimal en général; cependant je ne connois que 
"Wallis & MM. Euler, Lambert & Robertfon qui 
s’en foient occupés : Te premier, dans le chap. 8 y 
de-fon Algèbre ; M. Euler, dans le chapitre 1 2 du livre l 
de fon Introduction à ! Algèbre; M. Lambert , dans le 
yol. III des Acta Helvetica , & dans les Nova Alla 
Eruditorum , du mois de mars \yGcq ; enfin M. Ro- 
bertfon, dans les Tranfactions philo/bphiques , pour 
sy 68 . Sans avoir recours à ces différens ouvrages, 
on pourra cependant bientôt fe faire une idée de 
tout ce qui a été écrit fur cette matière , en conful- 
tant un Mémoire que j’ai donné dans le vol. II des 
nouveaux Mémoires de /’ Académie des Sciences de 
Berlin. Àinfi , je me contenterai de raffembler ici les 
remarques les plus effenîielles qu’elle fournit , & fur- 
tout celles qui peuvent le plus faciliter la continua- 
tion des deux tables qui fuivront , o l que j’ai con- 
ftruites moi-même fans en regretter la peine. 
Si on commence par confidérer la fraction M 
à laquelle fe rapporte ma première table, & oii D 
fignifie un nombre premier quelconque autre que 
% ou 5 , on ne tardera pas à remarquer que le pro- 
blème de déterminer combien de chiffres fe C ouve- 
ront dans la période de la fraction décimale équiva- 
lente à fe réduit à affigner le plus petit nombre 5 , 
tel que — ' foit un nombre entier ; car il eft clair 
que fi avant que de parvenir au refie 1 , on a ajouté 
s zéros ou multiplié s fois par 10, il faut que le 
quotient qui fuit la virgule ait 5 chiffres & foit de 
plus — - AI T Al ; or, on peut faire abftra&ion du 
nombre 105 qui multiplie D. Mais quoique cette 
formule — - L~- - foit très-fimple , & que * , fuivant 
la remarque que j’ai déjà faite , ne puifie pas paffer 
D — 1 , cette lettre ne iaifle pas d’être très-difficile 
à déterminer : on fait feulement que pour que 10 1 
foit un nombre entier , il faut que 5 foit ou = D — 1 
ou égal à un faffeur de D — 1 , & jufqu’à préfent le 
problème n’a pu être réfoluplus généralement. C’eft 
la raifon qui m’a principalement engagé à calculer 
ma table première; je me perfuadois que non feu- 
lement je conftruirois une table utile par elle-même, 
mais qu’elle devoit fournir, du moins fi poferiori, des 
éclaircifiemens fur la folution d’un problème curieux. 
J’ai étendu cette table, comme on voit, jufqu’au 
plus grand nombre premier au-deflous de 200, 
c eft à-dire, jufqu’à 199; on trouve donc dans la 
première colonne la fraction ~ qu’il s’agiffoit de ré- 
duire en décimales ; à ces termes, répond dans la 
fécondé colonne la première période de la fraction 
décimale qui lui eff égale que j’exprime en géné- 
rai par o + ~ -- -j- — — ^ ^ -f- 6*c. en entendant par 
s le nombre des chiffres de la période; une troi- 
iieme colonne indique ce nombre a , & fait voir en 
même tems en quels nombres il fe décompofe en 
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tant quM doit être = D — 1 , oti à un divifeur s dg 
D—i. Voici à préfent plufieurs remarques aux- 
quelles la confirucrion & Finfpedion de cette table 
donnent lieu. 
i°. Toutes les valeurs de s confirment le théorème 
que e fl; im nombre entier , quand 5 eft 1 
ou = à un divifeur de D - t , & ne Teft point dans 
d’autres cas; mais je doute fort qu’on puifie apper- 
cevoir dans ces réfultats quelques loix qui fafient 
juger abfolument de la valeur précife du nombre s f 
& encore moins qui puiflent faire trouver fans au- 
cune divifion effective le quotient — ty 1 ; j’ai fait 
pour cela plufieurs efiàis infru&ueux, en cherchant 
principalement à tirer parti de ces fractions conti- 
nues, qu’on a trouvé être d’un fi grand fecours pour 
réfoudre un grand nombre de problèmes qui fe re- 
fufoient aux méthodes analytiques les plus ufitées. 
2 0 . Ce qu’on fait fur la valeur de s ne laiffe pas 
cependant d’être déjà d’un grand fecours ; car ces 
divifions étant affez ennuyeufes, & d’autant plus 
qu’on ne peut gyere s’empêcher de fe tromper fré- 
quemment, on peut être perfuadé que cela eft ar- 
rivé, quand on a paffé un nombre de divifion plus 
grand que D — 1 , ou quand on a trouvé pour 5 un 
nombre moindre que D — 1 fans en être un divifeur. 
3 0 . Il n’efi pas inutile d’obferver qu’on fait tou- 
jours quel eft le dernier chiffre du quotient 
on le fait , parce que cette période finifiant lorfqu’on 
eft revenu au refte 5, il eft clair que le dernier 
chiffre de la période doit être 
9,lorfque celui du divifeur Z? eft: i. 
7 * 7 - 
3 3 - 
1 o. 
4°. On remarquera , en faifant ces divifions , que 
lorique 5 devient D — 1 , & que par conféquent 
D — 1 eft le plus petit nombre s , tel que 10 r - 1 
foit divifible par le nombre premier D autre que 
2 ou 5 , le — m ~ refte eft toujours D— 1 ; on en 
D - 1 D - 1 
t 10 2 — D + i 10 2 +1 „ 
conclura que — ou — j eft tou- 
jours dans ce cas un nombre entier; auffi eft-ce un 
théorème dont il eft facile de démontrer la généralité. 
5 0 . On remarquera pareillement que quel que 
foit lé nombre 5 des chiffres de la période , fi un 
des reftes de la divifion eft D — 1 , ce fera le — ne - 
6°. Ces deux théorèmes font très-utiles dans la 
conftruftion de la table des décimales périodiques ; 
car lorfqu’on arrive au nombre D — 1 , on ne doit 
pas négliger de compter le quantieme refte il eft 5 
fi ce n’efi: pas le 1 —L mc ou J e ± me c ’ e ft _ à - dire , 
qu’on ait dans le quotient précifément --- A chiffres, 
ou bien un nombre de chiffres qui foit la moitié d’un 
divifeur de D — 1 : on peut être perfuadé d’avoir 
commis quelque erreur. 
7 0 . Il y a plus; les mêmes théorèmes difpenfent 
m 
entièrement de la moitié de l’opération ; car fi ——AL 
m 
eft un nombre entier, ou que pour ~ j e q UOt j enî 
foit q & le réfidu D — 1 , on aura , à caufe de i Q î«- 
2 m 
1 = (io ra -î-ï)^io 1 ) , pour — — — A J e q U Q„ 
tient ( io«- 1 ) q- io m q-q,& par conféquent 
il fuffira de retrancher q de 10 m q. On a, par exem- 
ple, — — — = 77; on raifonnçra donc ainfi 3 jq ct q 
