un F R A 
s= 77 , & ( io 1 * — i ) q = 77000— 77 = 76923 , 
donc 7j — o , 076923 ; ou bien, quand on a trouvé 
TT — o, 076 -pj, on prendra le complément à 9 des 
trois chiffres trouvés , on l’écrira à la fuite de ces 
chiffres , & on aura la période entière. 
8 h Une remarque analogue fert à vérifier l’opé- 
ration , quel que foit le réfidu. Soit , par exemple 
m m . 
IO + D - r 10 - r . . 
— — ou un nombre entier, c eff-à-dire , 
qu apres m divilions on ait le réfidu r , ou bien que 
m 
xT — o 4“ ~ “ ? 011 11 le quotient eu q , qu on ait 
yy = a + ^ -^- , & on aura 77 — r 7 fi- 77 5 & par 
conféquent , quand on aura fait de nouveau m divi* 
fions , on trouvera le réfidu r r , ou fi rr > ou = 
fD on devra trouver le réfidu 5. Concluons 
de là qu’on pourra vérifier par-tout l’opération , en 
regardant fi après le double nombre de divifions on 
trouve le quarré du premier réfidu , ou ce qui refie 
après qu’on a divifé ce quarré par D . Il efi de plus 
évident qu’on peut continuer cette vérification aufii 
fort loi n qu’on veut , avec le même réfidu ; car fi après 
3 in divifions, il fera r 3 , ou r s ou s', parce qu’on 
peut avoir r 3 — (/ D + 5) /• = fr D -\-rs —fr D + 
g D s 1 =/ / D + s’ ; après 4/7* divifions , ce refie 
■s // fe déterminera en faifant /-4 — (/' Z> -f + ) r — 
/' rD + + /■ =/' /• J 9 .+; | Z? + U' = /" Z> + U 7 , 6c 
ainfi de fuite. Il efibon d’obferveraufii que fi reff grand 
& approchant de D , on peut lui fubftituer D — r. 
9 0 . La remarque de l’article précédent fert comme 
celle du feptiemey à abréger confidérablement ces 
operations dont il s’agit. En effet , dès qu’on efi; par- 
venu à un réfidu qui n’,efi que de quelques unités, 
ou qui ne différé de D que de quelques unités , 
on peut trouver facilement la période entière fans 
achever la divifion effedive. On n’a qu’à multiplier 
par r le quotient q trouvé par les m premières divi- 
fions , on obtiendra m chiffres qu’on écrira à la fuite 
des m premiers; on multipliera de nouveau cette 
fécondé période par r pour ranger ce produit après 
le fécond, & ainfi de fuite: on tiendra compte des 
valeurs de/,£, à, &c. ou de /, /',/ ", &c . &z on 
continuera cette opération jufqu’à ce qu’on voie les 
mêmes chiffres revenir & qu’cn ait la fraction deci- 
mak complette, ou du moins .jufqu’à ce qu’on par- 
vienne auxcomplémens à 9 des premiers chiffres, 6 c 
qu’on voie par-là qu’ayant pafie la moitié de la pé- 
riode, peut l’achever conformément à l’art. 7. Les 
deux exemples luivans éclairciront cette remarque- 
io°. Exempte premier. Lorfqu’on réduit ~ en dé- 
cimales, on trouve /y = o, 043478 fj, c’eft- à-dire, 
le 6 e ou /72 e refie = 6 ; on en conclut que -° 6 ? 
, ' 1 23 
6. 10 6 - 6 2 6. 10 6 - 6 3 c r , , 
■ ? , cyc. font des nombres en- 
2 3 23 
tiers , au bien que -f étant = o , - y, , les fix 
chiffres qui fuivront ceux que donne cette divifion 
feront exprimés par “~7T“ ? de fuite. 
Puis donc que 
r — 6 , 
r 2 = 6 2 = 1. 23 + 13, 
ra= 6^-6 (23+13 ) =6. 23 + 3/23 + 9, 
r4 “ 6 ( 9 * 2 3 + 9 ) — 54 * *3 + *- 234-8 = 56. 
23 + 8 , &c. 
On aura /= i , g= 3 , h = 1 ,/" = 9 = 56 , 
5 = 13 , S 1 = 9, y" = 8, de. 
On n’a pasbefoin d’aller plus loin, parce que m 
étant = 6 , la période ne peut paffer 4 m chiffres. 
Or, les //Z premiers chiffres font 043478; donc 
lés //Z fui vans ..... . 6. (043478) + 1 ou 260869. 
772 ............ 6. ( 260869 ) + 3 ou 565217. 
(n s ........... 6. 565217 +2011391304. 
. ) 
F R A • 
ainfi la période efi de 22 chiffres- & = 
0,043470260869565217391:3 , <5 ‘C. 
& on voit qu’après le onzième viennent les corn» 
plémens à 9, des premiers. 
ii°. j ai fait entrer dans cette opération les va- 
leurs dey, g , h j lion vouloir tenir compte plutôt de 
/»/' j/"> voici comment on procéderait : on multi- 
plierait les premiers m chiffres par 6 , le produit de 
meme , 6 c ainfi des fuivans ; on ne tiendroit compte 
qu à la fin des refies négligés, & on difpoferoiî 
l’opération de la façon qui fuit : 
■^ = 0,043478 
260868 
1 565208 
9391248 
56 3V 
71 = 0, 0434782608695652173.^1304,^. 
12°. La même opération enfin peut aufii fe ré- 
duire à la forme fuivante : 
puifque 4j = 0,043 478 A, 
on a 77 = o , 260868 4f = o, 2608694}; 
donc 4y = o, 043478260869 4}, 
&7 T=o> 565217391297 q-442, OU+7-4-; 
on ne peut pas fe méprendre fur les valeurs déci- 
males des multiples de j-y • qui font à la fin de ces 
périodes, 6 c en joignant les deux dernieres , on a la 
même fraction périodique complette que ci-defilis. 
I 3 °. Exempte deuxieme. On afi;=û,oiPii: -71 
0 7 ' JJ#*}* 
Ici le 6 e ou 772 e refie efi 85 ou — 4 , & e /| 
un nombre entier. En reprenant les lettres de la 
remarque 8e, nous aurons donc 
rr = ( — 4) 2 = + 16 , 
r 3 = ( — 4) 3 — ~ 64 , 
(- 4 ) 4 = + 256 = 2. 89+ 78 , 
t* 3 — C 4 ) 5 = ~ 8.89 — 4.78 = — 8. 89 — 3.89— 45; 
r6 — (“4 )° — + 44-^9 + 180 = +44. 89 + 2.89+2, 
^ 7 -= C— 4 ) y = — I« 4 - 89 — 8» 
( — 4)°~ + 736 + 32 ; par conféquent. 
après 2 772 divifions, le 1 2 e refie s fe 
3/72 
18 e ... . S j 
4772 
24 e s 11 
5 772 
30 e s r « 
6 m 
36 e . ... s lv 
7/72 
8/72 
4 2 e . . . . s v 
48 e s y 1 
on aura de plus 
/— 0, £=0, /2=0, 
1! 
1 
s* 
II 
& / x — o,/ I][ = 2,/ki =- i,/iv - 
a=i6 
=89-64=25 
=78 
=89-45=44 
=2 
^89-8=81 
=32 ; 
, /= O, 72=0. 
/VI— 7 36. 
Je n’ai pas continué cette énumération, parce que 
fi avant que d’aller plus loin , on applique ces don- 
nées , on trouvera que la période n’efi que de 44 
termes , 6 c puifque le- 48 e refie feroit 32 , il s’en 
enfuit que 32 doit aufii être le 4 e refie. 
1 4 0 . Une remarque pareille à celle du n° 9 a lieu 
aufii , lorfque r ou D - r , fans être précifément un 
petit nombre, efi un multiple ou un fous-multiple 
d’une puiffance de 10 ; fi, par exemple , le réfidu efi: 
25 , au lieu de multiplier les m chiffres par 25 , je 
les divife par 4 , & j’avance la deuxieme rangée de 
deux places , fans quoi je la prendrois 100 fois trop 
petite , 6 c je tiens compte des réfidus. 
1 5 0 . On déduit facilement de la formule que 
~d toujours égal au quotient périodique s ~ A - 
divifé par le nombre qu’exprime le chiffre 9 répété 
5 fois : par exemple , + = o , 076923 , &c. = ; 
il feroit donc utile d’avoir une table qui contînt pour 
pluiieurs nombres 9 , 99 , 999 , &c. les nombres pre- 
miers qui en font des fadeurs , puifqu’on y verrait 
pour un grand nombre de fractions yy de combien de 
chiffres deviennent les périodes de leurs valeurs 
en 
