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en décimales ; il eft clair que la conftïü£tion d’une 
telle table dépend de la recherche des divifeurs des 
fommes delà progreffion géométrique i + io 1 ^- 
ïo 2 + 10 3 + &c. & cette confidération la rend 
moins rebutante qu’elle ne le fembie d’abord ; j’en ai 
même déjà fait le commencement, & cette ébauche 
le trouve à la fuite d’un petit mémoire fur ces divi- 
feurs de i , il , ni , &c. que j’ai donné dans le même 
yol. //des Nouveaux Mémoires de Berlin. 
Après la table qui fait le lu jet de ce qui précédé , 
envient une autre dans laquelle j’ai inféré les frac- 
tions décimales périodiques que donnent plufieurs 
/raclions -y , dont les dénominateurs font les pro- 
duits de deux nombres premiers D 6 c d; fi on veut 
la continuer, voici quelques remarques dont on 
pourra faire ufage. 
i°. Quand on connoît le nombre s de la période 
~ 6 c le nombre <r de la période de ~ , on fait tou- 
jours quel fera le nombre t de la période de ~ : ce 
fera ou s s ou le plus petit commun dividende ~ 
entre s 6 c a- ; car io J — i éfant toujours divifible 
par D 6 c i o — i par d> il fufiit que io t — i foit di- 
vifible , tant par io * — i que par io<r— i , pour 
l’être par D 6 c par d. 
2°. Ainfi D — i 6 c d — i étant toujours des nom- 
bres pairs, il s’enfuit' que t ne peut jamais fur- 
' — — — 9 
2 
3°. Si s = s-, on aura aufii t —s~r, &pour trou- 
ver la période même , il fuffîra qu’on divifé, foit par 
d , celle de foit par D , celle de ~ ? J a divifion ne 
pourra manquer de fe faire fans refie. 
4°. Mais fi t > ^ & > que <7 , il faudra effeéluer la 
(divifion réelle , ou appliquer les remarques faites 
précédemment aux n os 7 6 c 9 ; on pourra même dé- 
terminer fréquemment, fans aucune rédu&ion de -L 
en décimales, le réfidu à employer conformément à 
l’article 9. Il fufiira de divifer par ^la période de— > 
t_ 
7 J 7 1 V 
ou par D celle de ~ : en voici un exemple. 
Je veux déterminer la période de yy — y-'yj. 
J’ai y, = °j 0588235294117647 
Si je divife cette période par 7 , il en réfiilte 
T79 = 0, 0084033613445378 j 
donc le refte r après la ï 6 e divifion, eft = j 
Les 16 chiffres luivans feront par conféquent 1! 
fois plus grands avec un réfidu 5=86, à caufe d 
18. 18=3 24 =2. 1 1 9 -j- 86 , & après la 48 e divifion 
on doit trouver le refte 5 1 = 1, vu que 48 eft le plu 
petit commun dividende entre s = 6 Ôc <r = 16, & 
en effet, 86. 18 = 1548= 13. 119-f-i » fi de plu 
on tient compte de 49, 1 19, à caufe de/= 2 6 c. d 
f ! — 36 + 13 = 49. Il ne reliera plus qu’à difpofe 
‘'opération de la maniéré enfeignée plus haut ai 
/ 11. 
5 0 . On obfervera dans la table que la deuxieme 6 c 
la troifieme remarque fouffrent une exception , lorf- 
que D — d, vu que pour jN on ,at— 42= (D - 1) 
d; 6 c que pour yf— 6 c , on a tzrs D, 6 c non 
pas 5 <r. Je rends raifon de cette exception dans mon 
mémoire, 6 c elle ne peut manquer d’avoir lieu, à 
moins que 10 s — 1 ne foit divifible par D D 3 ou que 
la période ou le quotient ^-7™ ne foit divifible en- 
core par D , comme c’eft le cas pour ÿ = — o , 
211 , &c. 
m Au refie, les remarques précédentes ferviront 
aifément à conftruire aufii une table pour des frac- 
tions -y , telles que P foit le produit de plus de deux 
nombres premiers. 
Tome HL 
F R A 1 1 3 
Si au contraire P étoit le produit d’un nombre 
premier par quelque puiffance de 2 ou de 5 , on ob- 
tiendra , à la vérité, pareillement des /raclions déci- 
males périodiques, 6 c qui ne feront pas même diffi- 
ciles à déterminer ; mais on remarquera qu’elles ne 
peuvent commencer avec le premier chiffre , elles 
ne commenceront qu’après une ou plufieurs figures , 
favoir ; quand l’influence du nombre 2 n 5 ? aura 
ceffe , ce qui dépendra des dimenfions de n 6 c q. 
Par exemple, 416666, &c. car fi je di- 
vife 5 par 12— 4. 3 , c’eft autant que fi je diyifois 
d’abord 5 par 4 6 c enfuite par 3. Or, la divifion par 
4 donne un quotient fini qui s’étend à 2 décimales , 
on a \ — 1 , 25 ; ce quotient divifé enfuite par 3, 
donne j/f ~ o, 416666 , &c. Cette divifion par 3 
ne peut par conféquent avoir fon effet que lorfqu’on 
parvient à la troifieme place des décimales, 6 c que 
les figures fignificaîives du premier quotient vien- 
nent à manquer. Pareillement N — o, 4 6 c £xi — 
o, 1333, 7^= o, 803 , 571428, 5714, &c. à 
caufe de 56“ 8. 7= 2. 2. 2.7, 6 c que y 1 — 5, 625 
& 0,803 , 5714, &C. 
Pour dire quelques mots aufii des /raflions déci- 
males périodiques , produites par des /raclions qui ont 
des nombres premiers dans le dénominateur 6 c d’au- 
tres nombres que l’unité pour numérateur , foitqy 
une fraction de cette efpece, il eft évident que fi le 
nombre des décimales pour D eft D — 1 , on aura 
pourrie même nombre de chiffres & aufii les mêmes 
chiffres, mais rangés dans un autre ordre; car le 
premier chiffre fera le nombre qui dans la divifion 
de 1 par D réfultoit du refte m; par exemple,-— o, 
142857 , &c. mais o, 428571 ,&c. par la raifon 
que la divifion commence par 3 , qui étoit le fécond 
refte dans celle de ÿ. 
Les rédudlions d q / raclions -R en décimales, fer- 
viront donc immédiatement aufii pour un nombre 
confidérable de /raclions telles que-^-; mais outre 
qu’on peut n’avoir pas fous les yeux la rédudlion de 
y, en décimales , il y a des cas où le nombre m ne fe 
trouvera pas parmi les réfidus de la divifion de 1 par 
D , 6 c ces cas auront lieu fréquemment, quand le 
nombre de chiffres ne fera pas D — 1 , mais feule- 
ment un divifeur de JD — 1 ; je ne fâche pas alors 
d’autre expédient que de multiplier diredlement par 
m la fraction décimale équivalente à par exemple, 
on ne trouve point le réfidu 7 dans la réduélion de 
71^ rj— o, 538461, &c. où les chiffres ne font 
plus les mêmes. 
On obferve qu’au refte, le nombre des chiffres 
reliera toujours le même que pour -L-, parce que/f 
eft fuppofé moindre que 1 6 c que fi m > D } on com- 
mence par mettre les entiers de côté pour n’opérer 
que fur la fraction /*, en entendant par p le réfidu de 
la divifion de D en p. 
Ces idées fuffifent pour étendre extrêmement les 
tables qui font jointes à cet article; 6 c afin de faci- 
liter ce travail à qui voudra s’en charger, je conferve 
les papiers fur lefquels j’ai fait mes divifions en dé- 
cimales. 
Je finirai en remarquant que s’il fe préfente une 
fraction décimale périodique donton veuille affignerla 
valeur, il fufiira d’écrire fous la période le nombre 
9 répété autant de fois qu’il y a de chiffres dans la 
période, 6 c de réduire cette fraction à fe s moindres 
termes. Soit donnée par exemple la fraction pério- 
dique o , 296 296, &c. fa valeur fera ffy , fraction 
qui fe réduit à^y , en divifant le numérateur par 37, 
Si on veut s’éclaircir fur l’ufage qu’on peut faire 
P 
