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lui» même ; tel , par exemple , que le diefe enharmo- 
nique, le comma , même le feœi-îon. 
Chez les Grecs , les intervalles incompofés étoient 
difFérens dans les trois genres , félon la maniéré d’ac- 
corder les tétracordes. Dans le diatonique le lemi- 
ton 6c chacun des deux tons qui le fuivent étoient 
des intervalles incompofés. La tierce mineure qui fe 
trouve entre la troifieme 6c la quatrième corde dans 
le genre chromatique, 6c la tierce majeure qui fe 
trouve entre les mêmes cordes dans le genre enhar- 
monique , étoient aufli des intervalles incompofés. En 
ce fens, il n’y a dans le fyftême moderne qu’un feul 
intervalle incompofé ; favoir, le femi-ton. Voyz\ 
SEMI - TON , dans le Dicl. raif. des Sciences , 6cc. (S) 
INDÉTERMINÉS, problèmes indéterminés. ( Al- 
gèbre. Analyfe.') Le premier auteur qui ait donné un 
ouvrage fur cette matière efl: Diophante, mathé- 
maticien de l’école d’Alexandrie. Voye £ dans le Dicl. 
raif. des Sciences , &c. X article Diophante. Cette 
partie de l’analyfe fit peu de progrès jufqu’au com- 
mencement du dix-feptieme fiecle, où Bachet de 
Mézériac , un des premiers membres de l’académie 
Françoife , célébré par fon érudition dans la langue 
Grecque , a donné un favant commentaire de Dio- 
phante , ouvrage excellent dans ce genre , félon 
M. de la Grange. Fermât, Defcartes, Frénicle, en 
France, & Wallis en Angleterre, fe propoferent 
réciproquement plufieurs problèmes de cette efpece. 
Le fils de Fermât recueillit les folutions de fon pere , 
& plufieurs beaux théorèmes dont elles lui avoient 
fourni l’occafion , dans une édition de Diophante 
qu’il a donnée ; mais les géomètres paroiffoient 
avoir oublié ces queftions, &c même les méprifer 
comme inutiles, lorfque M. Euler qui n’a Iaifle au- 
cune partie des mathématiques fans l’avoir appro- 
fondie 6c perfectionnée, a réveillé l’attention des 
géomètres par de très-belles recherches ajoutées à 
celles de Fermât, 6c par des démonftrations géné- 
rales de théorèmes qu’on n’avoit trouvés que par 
induCtion. M. de' la Grange s’eft occupé enfuite des 
mêmes objets, & non feulement il a réfolu des pro- 
blèmes plus généraux & plus difficiles, mais il a 
trouvé des méthodes plus directes , plus analytiques ; 
car jufqu’à lui les analyses n’avoient qu’une efpece 
de tâtonnement 6c de divination pour ainfi dire, 6c 
c’étoit en partie pour cela que plufieurs ou les 
avoient dédaignées, ou n’avoient ofé s’y livrer. Le 
fécond volume de la Traduction françoife des Elé- 
mens d.’’ Algèbre , de M. Euler, renferme un traité élé- 
mentaire , & avec les additions de M.de la Grange, 
une théorie prefque compîette de cette partie de l’al- 
gebre. Cet article ne fera qu’un extrait de cet ouvrage. 
Problèmes indéterminés du premier dégré. Ces pro- 
blèmes fe réduifent à trouver les valeurs en nom- 
bres entiers que peuvent avoir x 6c y , lorfque ces 
quantités font données par l’équation a x — by=z c , 
abc étant des nombres entiers pofitifs ou négatifs. 
Bachet efl le premier qui ait donné une folution 
compîette de ce problème: on l’a trouve dans fes ré- 
créations mathématiques , intitulées : Problèmes amu- 
fans. \ • 
Soit xua a 1 , y—b x une folution de l’équation ci-' 
deffius , on aura a 1 a — b 1 b ~ cm a x — b y ç donc 
; or, puifque ( hypothefe ) toutes ces 
quantités font des nombres entiers , & que par con- 
féquent a 8c b ne peuvent avoir un divifeur commun 
qui ne divife également c , 6c par conféquent tous les 
termes, on pourra regarder - comme une fraCHon 
réduite à fes plus fimples termes , 6c l’on aura x — a’ 
~mb, y—b'— m a , m étant un nombre entier 
pofitif au négatif ; donc x a ' y. m b , y — b' m a ; 
donc connoiffant une folution , on aura toutes les 
autres ; donc m pouvant être ou pofitif ou négatif à 
Tome III * 
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volonté , oh aura une valeur de x entre — 
une de y entre - 6c — -. . 
^ 7 . 2 
Mais puifque a x — b y~ c foit fait x — = x ’ c 6cy 
-g., 
— ~~y 1 c * nous aurons a x' 1 — by 1 =.~i ; donc ré- 
folvant cette équation & prenant x = x ' c 6c y ss 
y ' c , nous aurons une valeur de x 6c dey , 6c par 
celle-là toutes les autres. 
L’équation a x 7 — b y ' = — i eft toujours réfo» 
lubie, puifque réduifant ~ en fradion continue 
Fractions continues, Suppl. ) prenant les va- 
leurs approchées fucceffives pour | & appellant -p 
lapins approchée, nous aurons a b 1 — a' b~ — i 5 
ainfi x = èL c a' 6cy = — cb' feront une des va- 
leurs cherchées de x & de y. 
Problèmes indéterminés dont l'équation efl telle 
qui une des variables ne monte qu'au premier degré. La 
condition de ces problèmes eft de trouver pour x 
& y des nombres entiers y-îorfque 
a + b x -t- ex 2 -f- dx 3 , &c. 
T p + g x + h % 2 , &c. 
donc nous aurons 
a b x -\- c x z == A y 
f+gx + kxt • • = A 
éliminant x nous aurons une équation de la forme 
C A B, ou C eft une quantité donnée en a , b , c 6>C 
o,fg , 6cc. & oui? eft une fonction rationnelle &ne- 
tiere des mêmes coefficiens de y 6c de A ; donc C doit 
être divifible par A ; donc prenant pour A un des di- 
vifeurs de C6c l’équation A — f—gx...=. o , les racines 
rationnelles de cette équation, fi elle peut en avoir, 
feront les valeurs de x qui fatisferont au problème. 
Si ion avoit 1 équation y = ?<$v. 
6c que x — A fût une des folutions , il eft aifé de voir 
que A -f- m f en feroit une autre , m étant un entier 
quelconque : or , on peut fuppofer que A —m f foit 
entre ~ 6c — ~ dont eflayant tous les nombres en- 
tiers contenus dans ces limites , on aura toutes les 
folutions premières, defquelles il fera aifé de dé- 
duire toutes les autres. 
m m — i 
3 . Soit la fondion homogène — — TèZ 
que je fuppofe égale à un entier. 
D’abord il eft aifé de voir que fi l’on fait x =2 n y 
— /Q , le numérateur deviendra de la forme a -\-bn 
+ c /z 2 . . . . ,y m + B f qui doit être divifible par f; 
donc a + bn-\- en' 1 . . ,y m fera divifible par f foi tf=z 
f -y /'->/"-> f'" • •* étant des nombres pre- 
miers , il faudra que a-\- b n + c n 2 ... foit divifible ou 
par/', ou par f", ou par f f \ &c. ou par /, parce 
que y ne peut être fuppofé divifible par / ; ainfi nous 
cherchons d’abord n tel que foit un en- 
• J f J >J 
tier, & les valeurs de n trouvées nous donneront 
les valeurs- de y premières à/, & les autres fuppo- 
fitions nous donneront les autres jufqu’à y divifible 
par / qui donne y m divifible par f. 
Voilà les feules équations qu’on a pu réfoudre 
jufqu’ici pour un dégré quelconque. Je vais mainte- 
nant parler de celles du deuxieme dégré qu’on a ré- 
folues en général. 
Des équations du fécond dégré. On obfervera d’a- 
bord que par l’algebre ordinaire on réduira la folu- 
tion de ces équations, foit en nombres feulement 
rationnels , foit en nombres entiers , à la recherche de 
A xi -f~ B , égale à une fondion rationnelle ou à 
un entier. 
Pour le premier cas, nous obfervons que ( Voye^ 
Diophante, Dicl. raif. 6cc. ) fi A ou B font quarrés 
ou égaux à l’unité, le problème fe réfout par la mé- 
thode de Diophante ; ainfi, c’eft à rappeler la formule. 
C C c c ij 
