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.propofée à ce cas qu’il faut s’appliquer. Soit donc 
Ay*-\- B qui doit être un quarré A , & .S n’ayant point 
de fadeurs quarrés; car s’ils enavoient, il n’y auroit 
qu’à divifer A & B par les fadeurs a 1 ,!. 1 -, & ré- 
foudre la quefiion q ~- + ~ égal à un quarré , & 
faire y 
Je fais y = ~ 9 p & q étant des nombres entiers 
premiers entr’eux A ~ B fera donc un quarré, 
•& l’équation A p % -f B q 7 ~=a Q 7 fera réfoluble en 
nombres entiers. De ce que p 6l q font premiers 
entr’eux ,./? & B le feront auffi ; autrement il faudra 
que le divîfeur r B q 7 fût divifible par r 2 & B 
ne l’étant que par r, ce qui eft impoffible. Je ferai 
donc Q—nq — A q 1 , ou /z 8 z q l font de nouvelles 
indéterminés , il en réfulte que tous les termes ont A 
pour fadeur, excepté q 7 qui a « 2 — B; donc n 7 — B 
doit être divifible par A: ainfi, toutes les fois que 
A 1 
n < — ne donne pas n 2 — B divifible par A , le pro- 
blème n’eft pas réfoluble. 
Mais fi n - j B — A \ alors fubfiituant dans l’équa- 
tion enp,y, Q, ci-deffus, la valeur de (),on aura 
une équation B y 1 2 + A 1 qui fera un quarré , fi 
A 1 < B , nous aurons avancé lafolution, finon la 
mettant fous la forme A" y 7 -y B 11 égal à un quarré, 
6 la traitant comme la propofée , nous aurons 
— —, — , & fi n 1 < ~ donne une folution à caufe 
de B < A 1 , nous aurons A = n .. \ . A - < a 1 , & 
on cherchera B 1,1 y 2 -p A" égal à un quarré ; con- 
tinuant toujours ainfi , il efi clair que l’on trouvera 
néceffairement ou équation impoffible^ i, ou 2 égal 
à un quarré , ou A i Q 7 B i 2 égal à un quarré , 
toutes équations dont on connoît la folution; l’on 
voit que toutes les fuppofitions étant linéaires , la 
folution générale de la derniere équation donnera 
celle de la propofée. 
Des folutions en nombres entiers. On trouvera , 
en faifant les mêmes fubfiitutions que dans l’article 
précédent, que pour que <2 2 — A y 7 —B ^ il faut 
foit égale à un nombre entier n < ~ , 6c en- 
fuite il faudra que C 1 A 1 y 7 — z B 1 Q y ~r C' Q 7 
i : tous ces nombres étant entiers , fi cette équa- 
tion avoit des fadeurs rationnels, il n’y auroit pas de 
difficulté, finon pour fatisfaire à cette derniere con- 
dition ; on cherchera la plus petite valeur , en 
nombres entiers de la fondion égalée à l’unité , & 
fi cette valeur efi un , le problème fera poffible, 
finon il ne le fera pas. Maintenant, pour trouver ces 
valeurs qui rendent la fondion ci-deffus la plus pe- 
tite, on verra que foit -\-y m + B y m ~ ï a . . . fi- Q x m 9 
qui doit une quantité moindre, elle fera 
y — a x X y — b x Xy-(^'+c/ - i) 
x Xy — (b — ey' — i ) x ( ï b ’ — j/ — • i ) &c. == 
y — a x Xy — b X...X y — b 1 x 7 -\- e 1 7 x 7 donc 
il faudra qu ey — ax,y — b' x x , y — Æxfoient moin- 
dres quey 1 — ax\y' — b' x 1 \y' — b' x,y 1 6lx l étant 
des nombres <y & x ; il faudra donc lavoir, a étant 
un nombre donné non rationnel, quelles valeurs dey 
ÔC de x donnent ày — a x cette propriété; pour cela 
on fuppofera que foit p — aq une fondion 6c sp _± 
q r ' = ~ i , on aura en général r < p , 6c s < q p — 
a q < r— s , & < que toute fondion x — a y ou x 
efi entre p 6c r, &cy entre q 6c s, faifant donc^-=: a , 
& réduifant en fradions continues, on aura les frac- 
tions y, 7 , 6cc. qui jouiront de la propriété ci- 
deffus; donc fi les fradions y, &c. ou les fonc- 
tions /> — a qXp 1 — a 1 q' qu’on fuppofe deve- 
IND 
| mr minimum font en nombres finis , on cünnoiîrs 
le vrai minimum , & c’efi ce qui arrive foutes les 
fois que a efi rationnel , ou que la fondion efi du 
fécond degré. V. Fractions continues,, Suppl. 
Connoiflant une ou pluiieurs valeurs de Q, dey, 
on trouvera que les autres feront données par Féqua’- 
tion t 7 — A u 7 ~ 1 9 A étant une fondion des va- 
leurs connues de 6c dey : or , cette équation ad- 
| met une infinité de folutions, fi A n’efi pas négatif 
| & efi quarré, & n’en admet qu’une feule, fi A efipo- 
j fitif 6c non quarré. Connoiffanty 6c Q & toutes leurs, 
valeurs ; comme nous avons les quantités cherchées 
égales à des fondions linéaires dey & de Q , nous 
n aurons à réfoudre que des équations indéterminées 
linéaires, & l’on trouvera que pour le cas où il y a 
un nombre infini de valeurs de Q &c fatisfaifant au 
problème , il foffira de voir fi la folution efi poffible 
pour un certain nombre de valeurs, 8 c qu’on pourra 
d’après cela juger des autres. 
_ be me fois borné à indiquer la folution de ce der- 
nier problème , dont les détails demandent des opé- 
rations très-épineufes. 
Je m arrêterai peu aux degrés fupérieurs, parce 
que à 1 exception de ce qu’ils réfolvent par la même 
méthode que ceux de Diophante , il n’y a encore 
qu un très-petit nombre d’équations particulières qui 
aient ete refolues par des méthodes mdiredes. La 
plus fufceptibîe de généralifation efi celle de M. 
Euler , qui conlîfte à trouver fucceffiveinent qu’il 
doit y avoir des folutions en nombres plus petits 
jufqu’à ce qu’on tombe à des équations que les fup- 
pofitions les plus fimples doivent réfoudre ; c’efi; 
ainfi qu’il démontre qu’on ne peut avoir x 4 +y = 
Q_ \ m x 4 -y 4 - Q*, ni x3 dLyi~Q\ foye^ 
le tonie 11 de V Algèbre de M. Euler déjà cité, (o) 
Méthode des coéfficiens indéterminés. On regarde 
Defcartes comme l’inventeur de cette méthode. 
Voici-en quoi elle confifie. Il faut d’abord connoîrre 
la forme générale à laquelle doit fe réduire néceffai- 
rement , foit l’équation cherchée , foit une équation 
d’une nature donnée , qui doit avoir lieu en même 
tems qu’une équation connue. Enfuite on fuppofe 
égale à zéro une fonélion indéfinie de cette forme; 
6c on fait en forte qu’en y fubfiituant la valeur d’une 
des variables , tirée de 1 équation donnée, le refie 
foit identiquement égal à zéro, ou bien que l’équa- 
tion indéfinie fatisfaflè aux conditions du problème. 
On a enfuite , entre les coéfficiens , des équations 
qui fervent à le déterminer & à marquer le point 
ou la fondion indéfinie s’arrête ; par-là tous le pro- 
blèmes fe réduifent à connoître la forme dont efi 
fufceptibîe l’équation définitive qu’on cherche. On 
voit delà combien cette méthode de Defcartes a 
généralifé les problèmes de l’analyfe. En effet , la 
recherche de cette forme générale efi d’une très- 
grande généralité , & il y a toujours une infinité 
d’équations à qui elle convient ; au lieu qu’avant 
cette méthode, on ne pou voit connoître à priori, ni la 
réunioB de tous les problèmes delà même claffe , ni 
l’étendue de la méthode qu’on employoit à les réfou- 
dre chacun en particulier. Cette détermination de la 
forme générale dont efi fufceptibîe l’équation cher- 
chée , & la rédudion de chaque problème à la mé- 
thode des coéfficiens indéterminés , deviendra d’au- 
tant plus importante dans l’analyfe , que celle-ci de- 
viendra plus étendue à la fin. Les géomètres feront 
obligés de s’y arrêter dans bien de problèmes com- 
pliqués ; 6c il en naîtra une forte d’algebre , auffi fu- 
périeure en généralité à l’algebre ordinaire , que 
celle-ci l’efi à l’arithmétique. (<?) 
Séparation des indéterminées. On appelle équation 
féparée , celle où on a une des variables égale à une 
fondion donnée des autres , ou une fondion d’une 
des variables x auffi égale à une fondion des autres. 
