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propofée efl produite par la comparaifon des équa- 
tions Z = o i dZ=zo i diZ—o....d n Z = 0 . Ces 
équations font au nombre de n -f i ; & comme cha- 
cune déliés contient de nouvelles différences , on 
ne peut éliminer par ce moyen que n confiantes , 
qui par confisquent ne fe trouvent plus dans la pro- 
pofée , & font arbitraires dans 1 "intégrale. 
*!' 5°- k C , la P remiere ds ces arbitraires , qu’on 
puilie faire évanouir , en forte qu’on ait n équa- 
tions fans C : on voit que fi on ajoute à C la femme 
d un nombre indéfini de fondions logarithmiques, oit 
qu on multiplie la même quantité C par le produit 
d un nombre indéfini d’exponentielles , telles que la 
différentielle des expofans foit algébrique, les loga- 
utnmes , ou les exponentielles difparoîtront en 
meme tems que C ; 6 c il ne reftera plus dans les 
équations que la différence, foit des expofans , foit 
des fondions logarithmiques; foit C ' la fécondé conf- 
iante qu on pu iffe faire difparoître pour avoir n—i 
équations , on trouvera , i 9 . que C 1 peut fe trouver 
dans les différences des fondions difparues avec C ; 
2°. qu’il peut être multiplié comme C par un pro- 
duit d’exponentielles , ou ajouté à une fomme de 
logarithmes , fans qu’il reffe autre chofe de ces fonc- 
tions après l’élimination que la différentielle des lo- 
garithmes ou des expofans. 
3°. La propofée peut toujours être mife fous la 
iorme AZ+BdZ + C d^Z . . . + Qd n Z~o. 
A ,B , C, . • • Q _ , ne devenant point infinis lorf- 
qu on y tait Z — o, on peut donc fuppofer que la 
propofee eff de la forme P. d A' Z -f- B' dZ . . . . 
+ Q!d"-'Z=: o. En effet, comparant terme à terme 
cette forme avec la précédente, on a autant de 
coëfficiens indéterminés que d’équations. 
■4 . Parmi les équations fans C du n° . 2 . , il y en a 
une du premier ordre , une du fécond ..... une 
du n* : & parmi les équations fans C & C , il y en a 
une du fécond ordre , une du troifieme , une du n s 
& ainfi de fuite. Puifqu’on a une valeur de C' en la’ 
fubffituant dans celle de C , on aura une valeur de 
C fans C' ; de même fubffituant la valeur de C" dans 
celles de C & de C , on aura une valeur de Cfans C' 
ni C j&c de C' fans C ;/ , ôc ainfi de fuite ; on aura donc 
des valeurs de chaque arbitraire C, C' , C",.... telles 
que les autres arbitraires ne s’y trouvent point , non 
plus que les fondions logarithmiques ou exDonen- 
tielles qui peuvent leur avoir été ajoutées ou les avoir 
multipliées. Dans les équations qui donnent cette va- 
leur de chacune des confiantes arbitraires , on peut 
fuppofer qu’elle eff multipliée par une fonction expo- 
nentielle, ou qu elle eff ajoutée à une fondion loga- 
rithmique, ces fonctions pourront etre de l’ordre n 1 
La différentielle de ces logarithmes ou des expofans 
fera algébrique ; en forte que chacune de ces équa- 
tions étant differentiée , pourra produire la propo- 
fée. La propofée aura donc un nombre n d ’ intégrales 
de 1 ordre n 1 , contenant chacune une logarithmi- 
que , 6 c telles qu éliminant les différences , on en 
déduife l 'intégrale, finie. 
5 0 . Si la propofée eff du premier dégré, 6 c ne 
contient pas de radicaux , le fadeur qui peut la ren- 
dre une différentielle exade , peut être fuppofé ne 
point contenir de termes de la forme P m , m P étant 
™ 10nnei 5 & un nombre incommenfurabîe. En 
effet 5 dans ce cas , la propofée ne contenant pas P m , 
“ faudr qit que le coefficient de P m fût arbitraire. Or 
fi ce coefficient eff arbitraire , repaffant dans 1W- 
grale des logarithmes aux nombres , on verra qu’il y 
aura toujours une autre valeur du fadeur, oui ne 
contiendra point P m : il n ’en eft pas de même ] es ra- 
dicaux commenfurables , parce que quoique le coëf- 
fic.ent dup î, qui pourroit refter dans la différen- 
nelie exade s foit arbitraire ? cependant comme P 
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oc tes puiilaac.es s y peuvent trouver auffi , f ans que 
leurs coefficiens foient arbitraires , il ne s’enfuit pas 
que celui de y — , le foit dans l' intégrale. 
6°. Toute équation du premier dégré aura un f ac 
teur de l’ordre *- ï , qui la rendra une différentielle 
exaae : le fadeur fera algébrique , fi l’équation pr 0 , 
pofee ne contient point de tranfeendantes ; & fi die 
en contient , il ne pourra contenir que ces mê- 
mes tranfeendantes , & fera une fondion algébrique 
des variables & des tranfeendantes. Puifque la pro- 
pofee a n intégrales differentes de l’ordre n—ï If 
eft aife ae voir que ce fadeur algébrique a une infi. 
m.e de valeurs , mais qu’on peut en trouver «qui 
donnent n différentielles exafles , dont on puiffe tirer 
n intégrales differentes , & éliminer les différences 
qui y reftent , afin d’avoir l ’ intégrale finie 
7°. D’après l’article 5, le fadeur peut contenir 
un radical commenfur.able , quand même la propo- 
lee feroit du premier dégré; mais ce radical ne fe 
trouvant pas dans la propofée , chacune des racines 
de 1 équation qui donne ce radical doit donner une 
valeur du fadeur: or, comme le fadeur ne doit 
avoir que n valeurs réellement différentes, l’équa- 
tion qui donnera le radical ne devra pas non plus en 
donner un plus grand nombre. Si m < ou — n 6 c 
qu’on ait le fadeur par une équation de ce degré 
qui ait tous fes termes, on aura à la fois , en réfol- 
vantl équation au fadeur, m différentielles exades 
dont chacune donnera une intégrale de la propofée. 
Ai la propofee mife fous une forme linéaire , par 
rapport aux plus hautes différences, contient des ra- 
dicaux, ce que je viens de dire a lieu également ; 
mais ces radicaux entrent alors comme de nouvelles 
variables dans l’équation au fadeur, n étant toujours 
1 ordre de l’équation ; on voit qu’en général ou 
pourra fuppofer l’équation algébrique au fadeur du 
degre p n ; mais ne contenant que des puiffances p 
du faveur; p peut être quelconque. 
8 . L intégrale finie , outre x , y peut encore 
contenir la variable { dont la différence eff confiante. 
Cela arrive lorfque faifant dyxzAdx , dA—Bdx 
dP — P dx , &c. la propoiee ne devient pas Fdx^ 
ou bien lorfque après avoir fuppofé dans la propo- 
fee dx confiant, & complette l’equation qui en ré- 
fuite en remettant au lieu de d % ^ ™ lieu 
1 dddy 0 
de ~Tx~ > &c - 011 retrouve une équation différente 
delà propofee. Dans ce cas, un des fadeurs qui 
rend la propofée différentielle exade d’une fondioa 
de^ l’ordre immédiatement inférieur , la rend en 
meme tems de la forme d dB , B étant une fondion 
d’un ordre inférieur de deux unités, & peut même 
dans quelques cas la rendre de la forme dZ B\B' 
étant une fondion de l’ordre n - 3 & ainfi de fuite ; 
mais fi V étant la propofée 6 c A le fadeur, A F~ 
dd B , £ A V eftyme différentielle exade , & fi A F 
— dz B, ç z A F eff encore une différentielle exade. 
Si x: avoit eu fa différence confiante , alors on aurait 
A ^ x A 3 x 1 - A qui leroient egalement les fadeurs de 
la propolée. Cela pofe,fion fait dans la propofée 
d x confiant 6 c qu’on intégré enfuite , on aura ce 
que devient 1 intégrale de la propofee , lorfque ^zxx 9 
6 c par confequent pour avoir la vraie intégrale , il 
n y aura qu’à mettre £ au lieu de 3: dans toutes les 
fondions ax ff- b , a 6 c b étant arbitraires. 
Ces principes pofés , il n’y a point d’équation 
qu on ne reiolve en faifant les opérations fuivantes. 
Première operation. Quelque nombre de tranfeen- 
dantes 6 c de radicaux que contienne la propofée, 
on la réduira a etre une équation algébrique & du 
premier degre, en la différentiant une fois déplus 
qu’elle ne contient de tranfeendantes. Il faut en effet 
une différentiation pour chaque tranfcendante ? 6 c 
une fçule fuffit pour tous les radicaux. 
