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Cette première opération ne feroit néceffaire que 
lorfque les plus hautes différences enîreroient dans 
les transcendantes, autrement on pourrait intégrer 
en regardant les radicaux & les tranfcendantes 
comme de nouvelles variables ; mais j’ai cru devoir 
préférer ici la méthode la plus fimple. 
Deuxieme opération. La proposée qui a fubi la 
première étant de l’ordre n , on fuppofera qu’étant 
multipliée par un fadeur A , elle devient une diffé- 
rentielle exade ; on mettra dans les équations de 
condition à la place des différences entières ou par- 
tielles de A leurs valeurs tirées de l’équation a 4 - 
b A m 4 * c A -j- eA 3 171 , &c. oua, b , c , e , Sic. 
font des fondions rationnelles & entières de x , y , 
dy , dx 3 ddy 9 d dx , & c. d 11 ~ l y , d n ~ 1 x , ou feu- 
n - I 
Îemenî de x, y, ~ 9 - — - ~. Si dx a été fup- 
dx 
pofé confiant , on fuppofera enfuite que l’équation 
hypothétique en A admette l’équation ou les équa- 
tions qui naiffent après la habilitation précédente , & 
celafuffira pour déterminer les coefficiens dansa, 
b , c , e , &c. Sz le dégré oia monte A. Si la propofée 
efl du premier ordre , comme elle ne doit avoir 
qu’une inté y ale , l’équation en A fera de la forme 
a p A m xz o;ii elle efl du fécond , l’équation fera 
a -f p A m + q A 2m — o, Sz ainfi de fuite, enforte 
qu’elle fera toujours pour chaque ordre d’un dégré 
déterminé , Sz pourra être fuppofée ou de ce dégré 
ou d’un dégré inférieur. 
Troifieme opération. La propofée étant devenue 
Une différentielle exa£le d’une fondion de x 9 y, dx 9 
dy 9 d n ~ l x,d n ~ x y 9 ou bien de x 9 y 9 57?* • •• 
n — 1 
— 7777» & d’un radical de la forme convenable, on 
dx 
la mettra fous la forme ~ d x dy ^ ci d x 
d B 
jjg ddy , . . . . & on aura ( par l’art. Possible,) les 
valeurs de jj » ~ , &c. Si on avoit fait d x confiant, 
• . , dB . dB 
on ne pourrait avoir par cet article que 7-7 * ■> 
• d B • ^ ^ 
&c. Sz pour avoir -jg 9 il faudrait retrancher de la 
propofée la fondion connue ~ dy d-jg.... 
dx 
Sz divifer le relie par dx. 
Quatrième opération. On cherchera par la méthode 
d’autres différences exades , jufqu’à ce qu’on en ait 
n qui donnent des intégrales différentes. Cela pofé , 
il faut remarquer i°. quefi on a une intégrale algé- 
brique, toute fondion de cette intégrale étant mul- 
tipliée par le premier fadeur , devient elle-même 
lin nouveau fadeur qui rend la propofée différen- 
ce^ 6 exade ; mais les deux intégrales ne font pas 
différentes. Si donc on connoît deux fadeurs qui 
rendent la propofée une différentielle exade , Sz 
qu’on veuille favoir. fi ces deux différentielles don- 
nent deux intégrales différentes fans s’être donné la 
peine d’intégrer en pure perte , après avoir fait l’opé- 
ration troifieme, on verra fi les deux valeurs qu’on a 
j dB dB d b 0 r 
üe d y 9 !TdJ> ou Td~-> & c * * ont proportionnelles 
dx 
aux deux fadeurs; lorfque cela arrive, on aura X in- 
tégrale immédiatement , en égalant à une confiante 
arbitraire un des fadeurs divifé par l’autre. z°. Si 
on connoît deux fadeurs qui donnent deux intégra- 
les differentes , Sz qu’on veuille favoir fi un troi- 
fieme fadeur en donne une différente , on pourra 
d abord voir fi en comparant la troifieme différen- 
tielle complette avec chacune des deux autres , elle 
a’eil pas dans le cas dont je viens de parier ; enfuite^ 
I N T diî 
après avoir fait la troifieme opération , on verra fi 
la première différentielle exade , ajoutée à la fécondé 
multipliée par la confiante n , ne donne pas la troi- 
fieme; fi elle la donne, il faut alors chercher un 
nouveau fadeur; finon , après avoir trouvé les deux 
intégrales qu’on fait devoir être différentes , & en 
avoir tiré, fi cela efl poffibîe, une intégrale algé- 
brique, la troifieme différentielle exade donnera 
une nouvelle intégrale , ou fera la différentielle 
exade d’une des intégrales , plus une fondion dé 
1 intégrale algébrique, ou d’une fondion des deux 
intégrales , fi toutes deux font algébriques; ce qu’on 
pourra connoître après avoir fait la troifieme opé- 
ration , fans avoir intégré la troifieme différentielle 
exade. 
En général, il faudra vérifier fi la différentielle 
exade dont X intégrale doit être différente , n’efl pas 
différentielle exade de la fomme des intégrales loga- 
rithmiques , multipliées par des coefficiens indéter- 
minés par une fondion quelconque des intégrales al- 
gébriques ; ce qu’on pourra faire fans avoir intégré 
la différentielle exade qu’on veut examiner, Sz par 
conféquent on pourra fe difpenfer de faire des in- 
tégrations en pure perte de différentielles dont les 
intégrales rentrent les unes dans les autres. 
S\ dx n’a voit pas été fuppofé confiant, Sz qu’on 
eût une intégrale algébrique, ou il faudrait ajouter 
la confiante N d £ , ce qu’on connoît fans l’intégra- 
tion, on chercherait un fadeur qui multiplié par 7, 
rendrait encore la propofée différentielle exade; & 
fi l’on de voit avoir l’arbitraire N ^ 9 on cher- 
cherait un fadeur qui , multiplié par 7 2 , aurait 
cette même propriété, & ainfi de fuite. 
Cinquième opération. Puifqu’on n’a plus à intègre* 6 
que des différentielles exades, des fondions du pre- 
mier ordre Sz de n 4 1 ou 2 n variables , félon que 
x efl ou n’efl pas confiant, on aura les intégrales par 
la méthode des quadratures ( Voye 7 V art. Quadra- 
ture.). 
En effet, fi le fadeur ne contient pas des radi- 
caux , on aura 1 '‘intégrale par la méthode connue 
pour les fradions rationnelles ; s’il en contient , ou 
on fuivra celle que j’ai propofée à X article Quadra- 
ture , ou bien différentiant après avoir fait évanouir 
le radical du fadeur , on aura une équation entre 
n 4 1 oa z n variables : elle fera du fécond ordre , 
Sz on pourra fuppofer fans radicaux le nouveau 
fadeur qu’il faudra chercher ; lorfqu’il fera trouvé , 
on n’aura plus que des différences rationnelles à in- 
tégrer. On obfervera ici que le fadeur étant donné 
par une équation qui en produit plusieurs valeurs , 
cela diminue le nombre des fadeurs qu’il faut cher- 
cher; Sz que dans le dernier moyen que je propofa 
pour intégrer les différentielles exades qui contien- 
nent les radicaux , X intégrale qui refie à trouvée 
pour l’équation du fécond ordre donne toutes les in- 
tégrales qui répondent aux différentes valeurs du 
fadeur, en y faifant les fubflitutions convenables. 
Sixième opération. Par le moyen des n intégrales 
différentes, il faut trouver X intégrale finie, ce qui 
ne peut fe faire qu’en éliminant les différences ; il 
faut donc que les n intégrales foient telles que ceîîe 
élimination foit poffible , Sz fi celles qu’on a trou- 
vées ne fatisfont point à cette condition , il faudra 
en chercher de nouvelles ; mais il ne fera plus que- 
flion d’examiner fi elles feront différentes. On pour- 
rait fe difpenfer de la cinquième opération , en cher- 
chant d’abord un fadeur tel que la propofée de- 
vienne une différentielle exade & qu’on puiffe eu 
n- 1 
tirer la valeur de ou d n ~‘ l y 9 enfuite en cher- 
dx 
chant une différentielle exade telle qu’on, puiffe 
