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après y avoir mis dans Xintégrale pour — - 1 ~ ou d n ~ l y 
dx 
leur valeur, on puiffe en tirer la valeur de 
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d x 
ou d n - 2 y , & que dans ce dernier cas d n - * x ne s'y 
trouve plus , & ainfi de fuite ; & c’eft ce qu’on pourra 
toujours faire , même fans avoir intégré les différen- 
tielles exaéles qu’on veut affujettir à ces nouvelles 
conditions ; il fuffira de faire la troifieme opération , 
&l’on évitera encore ici l’inconvénient d’avoir inté» 
gré en pure perte. Mais fi on Veut, dans les cin- 
quième Si fixieme opérations , prendre toujours V in- 
tégrale des différentielles exa&es, à me fur g qu’on les 
trouve, il fera très-facile de diftinguer celles qu’on 
doit employer Si celles qu’on doit rejetter. 
Septième opération. intégrale finie étant ainfi 
trouvée , le problème efi réfoîu fi d x étoit confiant 
dans la propofée , ou ne l’a point été fuppofé dans 
l’intégration; mais fi dx étant variable on l’a fuppofé 
confiant pour intégrer avec plus de facilité, il faut 
dans les fondions a x -X b , a x* -fi Æx-fic, Sic. 
a , b , c , étant arbitraires, mettre à la placé de x une 
variable quelconque i dont la différence efi arbi- 
traire. 
L’intégrale ainfi trouvée ne contient pas toujours 
toutes les folutions poffibles de la propofée , il y en 
a encore de particulières. 
M.* Euler a remarqué le premier , qu’il y avoit 
des équations qui fatisfaifoient à une équation diffé- 
rentielle , fans cependant être comprifes dans fon 
intégrale générale. Voici quelques réflexions fur 
la caufe de ce paradoxe , c’eft ainfi que M. Euler 
l’a appellé. 
1. Soit A dZ + B Z m = o une équation diffé- 
rentielle , il efi clair que ( = o y fatisfera , mais 
l’équation fous cette forme efi égale à la différen- 
tielle exade de 1 ’ intégrale multipliée par un fadeur, 
donc il peut arriver que i=o fatisfaffe à la propofée 
fans fatisfaire à la différentielle exade de fon intégrale . 
Il fuffit pour cela qu’elle fatisfaffe au fadeur , Si que 
l y foit à une puiffance pofitive plus grande que la 
plus petite puiffance de { dans le dénominateur de la 
différentielle exade. 
2. Une équation intégrale étant fuppofée Q -fi 
C—O ou C efi: une confiante arbitraire, les équations, 
qui rendent Ç) = o , ou Q — oo fatisfont également 
à Q -fi C = o , les unes répondant à l’hypothefe de 
C — o , & les autres à celle de C= — co ; donc pour 
que la folution Z — o fatisfaffe à la propofée fans 
fatisfaire à 1 'intégrale^ il faut que non-feulement elle 
multiplie le fadeur fans fatisfaire à la différentielle 
exade , mais qu’elle ne puiffe pas rendre 1 ’ intégrale 
infinie. 
3. Soit le fadeur , 1 ’ intégral fera f A V Z~ « 
Si d Z + B Z m ~ n ,Si elle efi égale kfAFZ-^dZ 
prife en regardant Z feulement comme variable plus 
à un terme indépendant de Z ; il faudra donc ici que 
fA V Z ~ n d Z prife par rapport à Z , ne foit point 
infinie lorfque Z = o ; donc (comme M. Euler l’a 
enfeigné dans le chapitre de Ion calcul intégral ou 
il traite de ces folutions particulières ) il faut que n 
foit entre o Si l’unité , mais il faut aufli que B Z m ~ n 
ait un terme fans Z , fans quoi Z fe trouveroit à tous 
les termes de l 'intégrale , ce qui efi contre l’hypo- 
thefe ; donc m =p n ; donc m efi entre zéro & l’unité. 
4. Donc fi on a une équation différentielle d’un 
ordre quelconque, elle ne pourra avoir des folu- 
tions particulières non comprifes dans X intégrale , 
n 
à moins qu’elle ne renferme des radicaux \Z Z , Si 
epie ces radicaux ne s’y trouvent pas multipliés à tous 
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les termes par des puiffances de Z ; Si les radicaux 
qui feront dans le cas & qui réfolveront la propofée 
donneront les folutions particulières. 
5. Soit l’équation A d Z -fi B dx -fi CdyZ m = 0 
à laquelle Z = o fatisfait , & que cette équation n’ait 
pas d’intégrale générale , il efi clair que toutes les 
fois que m n’eft pas entre zéro & l’unité, Z = o fatif- 
fait à l’équation de condition comme pour l’intégra- 
bilité de ces équations , & que lorfque m efi entre 
zeio d 1 unité, £ ~ o , n’y fatisfait pas; donc on 
pourra avoir dans ce cas pour folutions particulières 
de la propofée, non-feulement l’équation de condi- 
tion , mais encore les quantités qui fe trouveront dans 
la propofée fous le figne radical avec la même con- 
dition que ci-deffus, Si il fera facile d’appliquer 
le même raifonnement aux équations de tous les 
ordres pour lefquelles j’ai donné les équations de 
condition. 
M. Euler a remarqué dans les Mémoires de Peterf- 
bourg , ou il recherche la courbe qui décrit un point 
attiré par deux centres fixés , que ces folutions par- 
ticulières non comprifes dans l’équation générale 
ne pouvoient être employées à la folution des pro- 
blèmes. Ainfi lorfque l’on a fu , par des fubfiitutions 
ou autrement , qu’une certaine équation fatisfait à 
une équation différentielle , il faut avant de l’em- 
ployer examiner fi elle n’eft pas dans le cas de nos 
folutions particulières , c’eft-à-dire , fi la fondion 
égalée à zéro dans cette équation ne fe trouve pas 
dans la propofée fous le figne radical avec la condi- 
tion ci-deffus. 
7. La caufe de ce nouveau paradoxe remarqué 
encore par M. Euler, fe peut découvrir en exami- 
nant la maniéré dont pour chaque problème on par- 
vient à une équation différentielle; en effet on verra 
qu’elles font formées par la comparaifon des valeurs 
fucceflives desy , des x , & enforte que fi au lieu de 
y -fi dy on mettoity, Si x au lieu de x -fi dx t elles 
doivent demeurer identiques ; or il efi aifé de voir 
que fi dans AdZ-\-\/ZB— AZ-\-dZ — AZ-X 
V Z B, on met Z au lieu de Z -\-dZ : elle ne 
devient pas identique. 
On voit que dans le cas de AdZ-XBZ — 0 la 
même fubftitution ne rend pas la propofée identi- 
que , aufii Z = o n’eft: pas même dans ce cas une 
véritable folution de la propofée , elle ne peut l’être 
que dans le cas particulier où elle fe trouve être la 
même que ce que devient alors la folution générale. 
En effet , foit une équation ay -\-b x~ — b c* =. o, a 
étant arbitraire , on ne peut pas dire que l’équation 
x — c foit une folution de cette équation, puifqu’il 
y a une infinité de cas où elle ne réfout pas , & fi 
•. i, r ■ d(bx 7 -—bc 1 ) , 
on avoit eu 1 équation -à — = o , on n auroit 
pas pu dire que x — c réfout le problème quia con- 
duit à cette équation , parce qu’il y a une infinité de 
cas du problème qu’elle ne peut réfoudre. Ainfi les 
folutions contenues dans l 'intégrale réfolvent 
non 
pas le problème propofe , mais quelques cas de ce 
problème , Si les autres folutions de l’équation diffé- 
rentielle non contenues dans l’intégrale n’en réfol- 
vent aucun. 
8. Dans le cas des équations abfurdes, on trou- 
vera que fi ces équations étant entre x ,y Si £ , on 
cherche les valeurs de £ répondant à y = X( AT efi 
une fondion de x ) les folutions de la propofée con- 
tenues dans l’équation de condition deviendront en 
y mettant X pour y des folutions contenues dans 
X intégrale de l’équation en ç Si x. Au lieu que celles 
qui ne feront pas contenues dans l’équation de 
condition , ne donneront pas non plus de folutions 
contenues dans X intégrale de l’équation en £ & x. 
M. de la Place s’eft occupé particuliérement d® 
