INT Z-- 
cet objet, fur lequel il a fait un très-beau mémoire, 
qui doit être inféré dans le Recueil de /’ académie des 
fciences de Paris. 
Si on a différentié la propofée par la premiers 
opération, Y intégrale trouvée fera trop générale ,& il 
y aura une partie des confiantes arbitraires qu’il fau- 
dra déterminer ; on y emploira la propofée , qui 
d’ailleurs donnera immédiatement autant ^intégra- 
les qu’on aura différentié de fois. Ce qui difpenlera 
d’en chercher d’autres toutes les fois que l’on pourra 
les employer à l’élimination fucceffive des plus 
hautes différences , & alors les arbitraires ne feront 
plus qu’au nombre néceffaire. 
Il n’y a point pour un plus grand nombre de varia- 
bles d’autre difficulté , que plus de longueur dans le 
calcul. 
Si on a m! équations entre m variables (jn > ni' ) 
on pourra les intégrer fans éliminer , en fuppofant , 
i°. qu’elles ont fubi l’opération première ; 2°. que 
chacune étant multipliée par un fadeur , comme 
dans la fécondé opération , leur fomme eft une dif- 
férentielle exade ; 3°. en prenant mu intégrales 
différentes ; 4 0 . en faifant enforte que non-feulement 
les différences , mais m variables quelconques piaf- 
fent s’éliminer. Voye 1 Séparation. 
Telle eft la méthode générale que j’ai propofée 
pour intégrer les équations différentielles. On en 
trouvera le détail dans mes E Jais d'analyfe , dans 
les Mémoires de Turin , t. IF. dedans ceux de Y acadé- 
mie des Sciences , année 1 y jo. 
J’ai déjà prévenu que cette méthode ne donnoit 
que les intégrales des équations qui étoient fufeep- 
tibles d’avoir des intégrales finies. Or il n’eft pas fur 
que toutes les équations poffibles foient dans ce cas 
en effet (voyeç l’article Equations poffibles au mot 
Possible dans ce Suppl .); les équations de condi- 
tion peuvent avoir lieu , pourvu qu’il y ait une inté- 
grale poffible , même en férié infinie. 
La méthode précédente ne peut donc être regar- 
dée comme vraiment générale , que fi on a un moyen 
de s’affurer (le nombre de formes dont une inté- 
grale finie eft fufceptible étant connu ) fi les fonc- 
tions rationnelles qui entrent dans ces formes fe 
terminent à un nombre fini de termes. 
On y parviendra toujours par la méthode fui- 
vante que j’applique feulement ici au cas oh la fonc- 
tion n’a qu’une feule variable a. Soit A une fondion 
donnée par une équation quelconque, & que je 
cherche fi A peut avoir une valeur rationnelle finie. 
Je remarque d’abord que pour cela il faudroit que 
A réduit en férié fût égal à une férié récurrente ; 
2 0 . que le terme général d’une férié récurrente eft 
+ ”,&c. oh R eft Pexpofant de x,A , Z? 
des confiantes arbitraires , &/, f & c . les racines 
d’une équation d’un degré égal à Pexpofant de la 
plus haute puiflance du dénominateur de la fradion 
A > 3 . que fi 1 équation en / avoit deux racines éga- 
les , & que /fut cette racine, il faudroit prendre 
A ffi é/” + B ^ e J % &c. & de même pour un lyftême 
quelconque de racines égales. Cela pofé , foit A 
réduit en férié & la fubftitution faite au lieu de A 
dans l’équation qui le donne, il eft clair d’abord que 
5 cette équadon eft linéaire , j’aurai le terme général 
de la ferie qui exprime A par une équation aux dif- 
férences unies entre ce terme & n ; donc pour que 
A puiffe etie une fondion rationnelle finie , il faut 
que mettant A au lieu de ce terme général, cette 
fubftitution fatisfaffe à l’équation : cette condition 
fervira alors à trouver les valeurs de/ 
Si l’équation en A n’étoit pas linéaire , alors on 
obferveroit que foit A=z 
P , Bc Q étant des 
fondions entières A m ■— — — , Â m d Av = — - — - , 
Q m g m + 2. p 
& ainfi de fuite ; donc la férié qu’il faudra fubftituer 
pour A m ou A m d Ap fera encore une férié récur- 
rente , mais dont le dénominateur fera Q m ou 
Q m + *p ; donc fi le terme général de la férié A 
eft A ^e J 71 4. B ^ ”... . celui de la férié A m , ou 
A m d Ap fera 
Subftituant donc dans l’équation propofée au lieu 
de A & de fes puiftances, des fériés infinies ’ on aura 
une équation entre les termes généraux de ces 
fériés : on y fubftituera , au lieu de ces termes géné- 
raux , leur valeur hypothétique , & on déterminera 
/» 011 bien la fondion A ne fera pas fufceptible 
d’une forme rationnelle & finie. 
Connoiffant toutes les valeurs poffibles de/, on 
auta le/énominateur de A ; mais il n’enréfulîe pas 
necefian ement que A foit fufceptible d’une forme 
finie , car il faut encore que le numérateur foit suffi 
fini. / 
Pour y parvenir, foit P ce numérateur , on aura 
P par une équation quelconque. Je fais P — A~ , j’ai 
P‘, dont je cherche le dénominateur de la même 
maniéré que j’ai cherché celui de A, ôcje n’ai plus 
qu’à voir en lui fuppofant pour numérateur ou l’unl- 
te , ou un fadeur du dénominateur trouvé fi îe 
fatisfais à l’équation. 5 
On pourroit auffi , pour déterminer cette poftibi- 
lité, fuppofer P = a x™ , car il eft clair que fi P a 
une valeur entière & finie, le coefficient du plus haut 
terme de l’équation rationnelle & entière en P & a 
doit être nul. 
J’ai traité cette matière avec beaucoup de détail 
dans les Mémoires de P académie royale des Sciences 
année 1772. Ce que j’en dis ici fuffit pour en faire 
connoître l’efprit & la méthode , & mettre en état de 
l’appliquer aux fondions à plufieurs variables. 
Lorfque^ 1 on a une équation, foit du premier 
ordre qui n’admette aucune intégrale en termes finis 
foit une équation du fécond ordre cjui n’ait pas ou 
d 'intégrale du premier ordre en termes finis, ou qui 
n en ait qu une , ou qui en ait deux , mais dont on ne 
puifle pas éliminer la différentielle , ni parvenir à 
1 intégrale finie , & ainfi de fuite pour les autres or— 
dtes^, il eft clair que Ion ne peut aVoir de valeur 
d'- 1 mtegrale en fondions Unies , fi l’on ne regarde 
comme telles que les fondions algébriques, les trans- 
cendantes algébriques connues , ou , ce qui revient 
au même , celles qui naiffent de la quadrature du 
cercle , ou de celle des courbes algébriques. 
; Mais voici une maniéré d’avoir ces intégrales en 
fériés la plus propre à pénétrer dans la nature de ces 
équations , & que je donne feulement ici pour le pre- 
mier ordre. Soit B a + Ç) dy une équation enxL 
je fais a = A A l = P + « ; ieft une valeur de 
a & P celle dey qui y répond ; par la méthode d’ap- 
proximation , j’ai une férié en 1 & u , qui repréfente 
\ intégrale cherchée , je mets dans cette férié a au 
lieu de A , y au lieu de B , a a au lieu de ? , & a y 
c ^ e » & j a i lî ne fondion en férié & aux 
différences finies. Foyey fur ce fujet les Mémoires de 
l academie , année ijju. 
Depuis fimpreffion de YartUle Intégral du 
> 
) 
* 
