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mais plus commode par le moyen des différences 
premières , fécondés & îroiûemes. 
Je fuppofe une fuite de nombres o, ï, 3, &c, 
comme dans la table ci -défions, dont les différences 
foient inégales, mais d’une inégalité confiante & 
régulière, par exemple i , 2,3,4, &c. enforte que 
les fécondés différences foient confiantes, par exem- 
pie , égale à 1 , comme dans la troilieme colonne. Si 
l’on ne prend les mêmes nombres que de deux en 
deux, par exemple, o, 3 , 10 , 21 , les différences 
feront 3, 7, 1 1 , & leur inégalité ou leur fécondé 
différence fera de 4, c’eft-à-dire, quatre fois plus 
grande qu’auparavant , parce qu’en doublant les in- 
tervalles , l’on a pour différence première d’un côté 
la fomme de 1 8c 2 , de l’autre la fomme de 3 8c 4 ; 
enforte que la fécondé différence a augmenté à rai- 
fon de la différence qu’il y a entre 2 & 3 , 8c de celle 
qu’il y a entre 1 8c 4, qui eff trois fois plus grande. 
Si l’on prenoit les nombres de trois entrois, on trou- 
veroit la fécondé différence 9 , &c. 
Nombres. 
Première 
différence. 
m 
Seconde I 
différence. | 
O 
. 1 
1 
I 
I 
3 
2 
1 
6 
3 
1 
10 
4 
1 
M 
5 
I 
21 
6 
1 
28 
7 
1 
36 
8 
1 
Àinfi , en général , les différences fécondés croiffent 
comme les quarrés des intervalles des nombres. De- 
là je vais tirer une réglé générale pour remplir les 
intervalles d’une fuite de nombres qui fuivroient la 
même loi. 
Je fuppofe quatre nombres, comme feroient quatre 
longitudes, obfervées de 12 heures en 12 heures, 
dont les trois différences foient 78, 222, 366, en- 
forte que l’inégalité de leur marche, ou de leur pro- 
grès foit 1 44 ^ c’eff - à - dire , que la différence fécon- 
dé , ou la différence des différences foit conftamment 
de 144. Les nombres o, 78, 300, 666, ne croiffent 
pas uniformément, puifque leurs différences 78, 222, 
font inégales , mais du moins l’uniformité eff telle 
que ces différences augmentent également: tel eff le 
cas le plus (impie des interpolations ; mais ce cas eff 
fuffifant dans l’iifige de l’aftronomie , même pour le 
mouvement de la lune qui eff la planete la plus irré- 
gulière de toutes. 
Heures. 
Nombres. 
Différences. 
Secondes 
différences. 
0 
0 
78 
12 
78 
222 
144 
24 
300 
366 
144 
36 
666 
Connoiffant ces nombres , ou ces longitudes de 12 
heures en 12 heures, on peut facilement les avoir 
de 6 heures en 6 heures, en les affujettiffant à cette 
réglé des fécondés différences confiantes ; il ne s’agit 
que d’interpoler un nombre dans chacun des inter- 
valles; car on fait que leur fécondé différence doit 
être quatre fois moindre que 144 , c’eft-à-dire, 36 ; 
il fuffira donc de faire une fuite de nombres dont la 
fécondé différence foit 36, Pour avoir la différence 
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première, oh prendra la moitié de la différence 78 » 
c’eft-à-dire 39, 6 c l’on en ôtera la moitié de la fé- 
condé différence 36 , c’eft-à-dire , 1 8 , il reliera 2 1 j; 
or ayant cette première différence 2 1 , il fuffira de 
l’augmenter fuccefîivement de îa fécondé différence 
36 pour avoir toutes les autres différences; en effet, 
la première différence jointe à la fécondé , doit faire 
78 , 8c ces deux différences doivent différer de 36 ; 
or quand on a la fomme 8c la différence des deux 
nombres , il fuffit pour trouver le premier de retran- 
cher la demi- différence de la demi- fomme. 
Si au lieu d’avoir un nombre à interpoler entre 
o, 78, 300, on en vouloir interpoler 2 , on pren- 
droit le tiers de la différence première , 6 c on en ote- 
roit une fois la fécondé différence trouvée ; car les 
trois différences que l’on cherche doivent faire 78 
dans l’exemple précédent , 8c elles doivent diffé- 
rer de la valeur de la fécondé différence trouvée; 
or quand on a la fomme de trois quantités , 8c leur 
différence, on trouve la plus petite quantité par la 
réglé que je viens d’indiquer. 
En général, pour interpoler un nombre 12 de 
termes entre deux termes d’une fuite donnée, on 
divifera la fécondé différence de la fuite donnée par 
le quarré de 124-1: pour avoir la fécondé différence 
de la nouvelle fuite , on divifera la différence pre- 
mière par 1 2 -}- 1 , 6 c l’on ôtera du quotient la fécondé 
différence de la nouvelle fuite multipliée par ■— , il 
faudroit l’ajouter files différences premières alloient 
en décroiffant. C’eff ainft qu’on trouvera la première 
des différences premières qui doivent avoir lieu dans 
le nouvel ordre de termes que l’on cherche ; les fui- 
vanîesfe trouvent en ajoutant fucceffivement la diffé- 
rence fécondé trouvée pour la nouvelle fuite. 
La feule confédération des fécondés différences 
fuppofées égales, eff fuffifante dans bien des calculs 
aftronomiques , fur- tout pour conftruire des tables. 
M. Sharp qui calcula, en 1695 , les tables d’afeen- 
fion droite, & de déclinaiîon pour chaque dégré de 
longitude 6 c de latitude, qu’on trouve dans Thiffoire 
célefle de Flemfleed, ne les calcula par la trigono- 
métrie que de «5°. en 5 °. 6 c il les étendit par la mé- 
thode des interpolations à chaque dégré. M. Mouton , 
chanoine de Lyon, qui calcula les déclinaifons du 
foleil pour chaque minute de longitude en fécondés 
& en tierces, ne les calcula que pour chaque dégré 
de la trigonométrie , & chercha les autres nombres 
par la méthode des fécondés différences. 
Il fuffit dans ces cas - là de calculer rigoureufement 
affez de termes pour que leurs fécondés différences 
foient à-peu-près égales, ou varient infenfiblement. 
J’ai publié dans la Connoffance des tems , de 1771, 
une table fort commode pour abréger ces fortes 
d’opérations. 
On fe fert auffi des fécondés différences pour cor- 
riger des calculs, ou limiter des obfervations , c’eft- 
à-dire , les ramener à une marche régulière 5 c uni- 
forme. Quand on trouve une fécondé différence qui 
eff trop grande ou trop petite par rapport à la pré- 
cédente 6 c à la fuivante , il faut corriger le nombre 
qui répond à cette fécondé différence du tiers feule- 
ment de l’erreur qu’on a remarquée dans la diffé- 
rence. Cette correélion eff de même efpece que celle 
de la fécondé différence elle - même , fi le progrès 
eff de différente efpece dans les nombres 6 c dans les 
premières différences. 
En procédant ainfi par induflion , il eff aifé de trou- 
ver une formule pour corriger d’une maniéré géné- 
rale l’inégalité des fécondés 6 c même des troifiemes 
différences , comme je les ai données dans les Mé- 
moires de Yacadémie de Paris, pour 1761. Au fujet 
des interpolations confidérées plus généralement , 
y °y e £ Sérié & Suite, dans le Dictionnaire raif* des 
Sciences , &c. {M.de LA Lan&K.) 
