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qu’une feule de ces intégrales foit linéaire , quoique 
la différentielle du fécond ordre le foit ; ainü , cette 
différentielle n’aura pas néceffairement deux inté- 
grales linéaires du premier ordre. 
Je n’ai jufqu’ici parlé que d’une feule équation li- 
néaire entre deux variables ; s’il y en avoit m entre 
1 variables j & qu’il fallût les intégrer fans avoir 
éliminé, on tjrouveroit en les multipliant chacune 
par un fa&eur , fonêlion de x, & fuppofant que leur 
femme eft une différentielle exaéte, un nombre m 
d’équations entre un nombre m de facleurs , ce qui 
les détermine en x. Appellant enfuite X un de ces 
fadeurs , on aura en éliminant chacun des autres fac- 
teurs égal à une fondion donnée de x,XU fes diffé- 
rences. On aura toujours une équation X+ CdX 
= o, C étant algébrique , C pourra être donné par 
une équation d’un dégré égal à i , 2 , 3 ....n-fi 1 , 
divifé par un divifeur de n -f- 1 , n érant ici la fomme 
des ordres de différences dans toutes les équations. 
Et fi en déterminant C, on ne trouve qu’une valeur 
pour C &c pour X, il faudra, comme dans le cas où 
il n’y a qu’une équation , employer la méthode des 
intégrations fucceffives. 
C’eff à M. d’Aîembert qu’on doit l’idée de ré- 
foudre plufieiirs équations différentielles à la fois & 
fans avoir éliminé ; & il a réfolu ainfi les équations 
aux équations linéaires , dont les coëfficiens font con- 
ftans. 
On pourroit encore dans un autre fens donner 
le nom d 'équations linéaires aux équations de la 
forme y — x <p £ == £ étant — -, & ces équations 
fe rappelleront aux équations linéaires ordinaires 
par une nouvelle différentiation ; car on aura dy — 
d x — x dq> 7^=. d & en mettant pour dy fa 
valeur ^ d x — dx <p £ — x d y y' £. 
L’intégrale étant trouvée par la méthode ordi- 
naire, on y mettra pour 1 fa valeur tirée de, la pro- 
pofée, & l’on aura l’intégrale cherchée. Si fi — 0 , 
c’eff le cas des homogènes , & l’intégration eft plus 
ftmple ; fiip{r:{ona d^~o, d’où on tir e y + a x 
-\-bzxOy a &c b étant arbitraires ; mais prenant 7^ — a 
& le fubftituant dans la propofée , on en aura l’inté- 
grale cherchée qui ne doit contenir qu’une arbi- 
traire, le faâteur x — d <p £ étant comparé avec la 
propofée , en donne de plus une folution particu- 
lière. Voyez les Mémoires de Pétersbourg . 
M. Euler a propofé les équations comme un 
exemple d’intégrations facilitées par la différentia- 
tion, ce qui vient de la difpofition des arbitraires. 
Des équations linéaires aux différences finies. Si on 
a une équation de la forme A Z -j- B a Z -f- C a 2 £..„ 
-j- P a 77 { = il eft aifé de voir qu’en fuppofant que 
multipliée par Ç) elle devienne une différentielle exac- 
te, on aura pour Q une équation de la forme A ' Q 4- 
B'\\Q... + P‘ a n Q — o , & ft on connoît n valeurs 
de Q intégrant & éliminant , on aura Q.On verra auffi 
que Q aura toujours une valeur de la forme F e^ x > 
e a x Q ' Q r étant algébrique , & ne pouvant contenir 
de radicaux du dégré n 1 , parce qu’on auroit 
alors n -f- 1 valeurs différentes de Q. Si les coëffi- 
ciens de l’équation propofée font conftans , on pourra 
faire Q — a e p x -f- b e p x c e ?> * .... le nombre de 
ces fondions étant n f p,p'p" étant les racines de 
l’équation ene p qu’on trouve en mettant pour Q , 
a e px dans la propofée a, b, c, font des fondions ar- 
bitraires de/'" , ôc ff l’équation en e pù,x a deux ra- 
cines égales, on mettra ae p x + b x e px (p = p') > 
au lieu des deux premiers termes , & ainfi de fuite 
pour un plus grand nombre de racines égales. On 
voit combien cette folution a de rapport avec celle 
des équations linéaires aux différences infiniment pe- 
tites. M. de la Grange a publié un mémoire fur cette 
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matière dans le premier volume de l’académie des 
feiences de Turin; on peut confulter auffi fur cet 
objet le volume de l’académie des feiences de Paris 
année 1 7 70 , & plufieurs mémoires de M. de la Place* 
inférés dans le quatrième volume de l’académie de 
Turin, & dans les Mémoires de V académie de Paris. 
Des équations linéaires aux différences finies & infi- 
niment petites. L’équation y -f- + ^(y4Ay) = 
o, je fais y ~ e fx , & j’ai 1 ff afi+ b e f = o. Je re- 
marque d’abord qu’il n’y a aucune fon&ion finie de 
a & b qui puiffe repréfenter /; je remarque enfuite 
que fi j appelle/ ,.&/' deux valeurs de /, que î e 
fuppofe avoir lieu en même tems, j’aurai 2 + a/-|~ 
b & * = 0 3 1 ff af* + be p =0; d’oii /' a f- 1 ~ / 1 =2 
f fi 
ef a fi' fief & a = 
■f 1 fi fi 1 ri 
, \ , . e f~ e f e f—f e 
d’oîi l’on voit que pour une infinité de cas / doit 
avoir deux valeurs ; l’équation 1 -f. a f fi be J =oe(! 
facile à conffruire par les courbes. En effet , foit la 
ligne droite 1 -f a y -f b x , & la ligne courbe expo- 
nentielle x=.ey , les interférions de ces deux lignes 
donneront les valeurs de/; regardant x comme lùbi- 
eiffe , il eft aifé de voir que dans les courbes il ré- 
pondra à chaque valeur de x pofitif une valeur réelle 
& une infinité de valeurs imaginaires de y ; ces va- 
leurs imaginaires font données par des branches de 
courbe abfolument femblables à la branche des va- 
leurs réelles , mais placées à une diftanee imaginaire 
de l’axe ; donc la ligne les coupe à une diftanee de 
l’origine de x égale à celle où des parallèles à cette 
ligne droite & diftantesde l’axe de ces mêmes quan- 
tités coupent la branche réelle : or , ces quantités 
font indépendantes de la valeur de y; donc can- 
noiffant deux valeurs /, &c. /' de /, nous aurons 
pour l’intégrale de l’équation propofée =efx. 
A e *'- * + B e h ' ' * + C e c '% & c . + /' x A' e a ' x + B' e v % 
&c. cette férié tenant lieu de la fon&ion arbitraire. 
Si les deux valeurs de / doivent être égales, alors 
/ _ -* 
on aura a -{- b e fixa o ; donc e p — 
J —r-, &c. l’on aura 
donc / 
xtl^JL*. A t*'* +Be h ' x ...+etzJLxjt e *'* ; 
+ B ' e h ' x , &c. En effet , on voit qu’en mettant dans 
la propofée x e* * au lieu dey, on aura des termes 
multipliés par x & d’autres par e^ x , &c. & que 
le coëfficient de e^ x doit être égal à la différentielle 
de celui de x ef x , après l’avoir divifé par d f. 
Soit l’équation y a b (y + a y ) -fc 
<f;y + Ay . d ' 1 y . , . , , ^ 
— 7 ■ Tr ~ ~ +e 'dX + S (y + 2Ay+A/)=o; 
je faisy = A e^ x , & j’ai 1 + a f b ef +c/e^-|- 
« A +g e2f = °- 
Si maintenant je fuppofe , comme ci-deffùs, que 
j’ai cinq valeurs données de /, & que je cherche à 
déterminer les cinq coëfficiens de la propofée, j’au- 
rai les coëfficiens par une équation linéaire ; donc il 
y a une infinité de valeurs de a , b , &c. où l’équa- 
tion en/ a cinq racines réelles. On trouve que celui 
des imaginaires eft infini ; en effet , on peut toujours 
conftruire la propofée par l’interfeêHon d’une fec- 
tion conique & d’une logarithmique : chaque branche 
imaginaire de la logarithmique pourra être coupée 
par la feêiion conique , & le fera à des points corref- 
pondans aux mêmes abeiffes que fi la branche réelle 
étoit coupée par des ferions coniques femblables % 
mais placées à des diffances imaginaires de l’axe , & 
l’on aura pour arbitraires des fériés comme ci-deffùs. 
Paflant maintenant à l’examen des cas particu- 
liers , j’aurai d’abord en faifant g & e ^ 0 c ~ 
