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h a , l’équation i + b i + æ / } ~ 0 , ce qui 
donne les deux folùtions /= aL & e f— zJL • a i n fi 
l’intégrale complette fera jy = e ~q l x 'A 4- e ^ ~ x , 
B , B étant une fonâion qui refté la même lorfque x 
eft augmenté de Limité'. 
Soit e — o , ôc que 1 b e f -\-g e nj — 0 ait une 
racine commune avec 1 équation a + cef = 0, j’au- 
rai y égal à un terme e J x B , où B fera une fon&ion 
arbitraire , comme pour le cas des différences finies. 
Si au contraire g = o & que 1 4 - a e f * 2 — o 
ait une racine commune avec l’équation b-\-c f— 0, 
j’aurai y égal à e^ x multiplié par une feule confiante 
arbitraire A ; les autres racines donneront des équa- 
tions en férié. 
Ces cas font ceux oîi la fe&ion conique dont l’in- 
îerfeéhon avec la logarithmique donne les racines , 
fe réduit à deux lignes droites. 
Le cas des deux racines égales fe traitera comme 
ci-deffus, & Lon peut diftinguer le cas ou l’équation 
en/feroit le quarré d’une feule équation linéaire. 
Celui de 3,4, 5 racines égales fe traitera de 
même , & il ne fera pas difficile de démontrer en 
général que y — Ax n et ^*,réfoivera toute équation 
de ce genre , 011 l’équation en f aura n 1 racines 
égales. 
Je ne m’étends pas davantage fur cet objet, les 
autres ordres n’ont pas plus de difficulté ; & en gé- 
néral, les équations linéaires de quelque nature 
qu’elles foient , fe réfolvent du moins en fériés par 
la fubflituîion d’une fonriion exponentielle. Voyez 
les Mémoires de V académie des fciences de Paris , année 
1 772 , & la fuite de cet article. 
D une efpece d'équations linéaires aux différences 
finies & partielles. Soit Z — A F( x <z 7 ) _j_ B F' 
C x + b y') + C ( x + cy ) 4- D Ç F'" x -f- e y ) 
&c. l’intégrale d’une équation aux différences par- 
tielles où les Jriléfignent des fondions arbitraires , & 
où A , B , C, D , &c. font des fondions de y. Je 
fuppofe que lorfque — f ; que lorfque q = 
g S y = g ' ; que lorfque { — h, y — h' ; que lorfque 
1 = é ,y—l' , & ainfi de fuite. On aura donc pour 
déterminer les fondions , les équations 
fi-AFx + af - B F x + bf - C F" x+cf - 
D F x + ,e f — &c. — oh — A'- F~x 4. a h ' — B 1 
F r x + bh’ - C'F" x + ch ' - D'F^TffTh' ZL 
& = o g - A " F x + a g' — B " fî~ x ffJTg' _ 
C" F" x+ c g' - D" F 7l7 x +eg’—&— ol-A m 
F x 4- al' — B'" F' x -f b V — C' u F' x-\- b l' — C'" 
F^T+Tl' - D '"T^TTTv L-& = O, & ainfi 
de fuite, les A A' & B B' &c. étant ce que de- 
viennent les coëfficiens en 7, lorfque y eff égal à f 
ou g', ou V . 
Maintenant pour avoir chaque fondion arbitraire, 
on mettra dans toutes les équations , hors la pre- 
mière, ait lieu de x, x 4- p, x 4- q , *■ 4. r , &c. 
& on déterminera^, q, r, par la condition que a f 
-p~{- a h' = q-\- a g 1 = r + a l', ainfi de fuite. 
Par ce moyen, fi le nombre des fondions eft n, on 
aura apres avoir éliminé F , n — 1 , équations qui 
contiendront chacune deux fondions de la forme 
F’ x ,F‘ x-\-P pour la première équation, F 1 x, 
Fx 4- P ' pour la. fécondé , F' x F' x 4- P" pour 
la troifieme , & ainfi de fuite , avec deux fondions 
F\ deux fondions F'\ & c . Je prends les deux pre- 
mières équations , & j’ai, en mettant dans la première 
x +P e au lieu de.#, & dans la fécondé x + P au 
lieu de x, quatre équations qui contiennent F' x , 
F 1 x 4 rfip F 1 x 4 - P- J F ‘ x -f- P -F P ' ; donc je puis 
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éliminer F' x: j’aurai maintenant n — 2 , équations 
qui contiendront chacune F" x, & quatre fondions 
femblables de x, plus quatre confiantes différentes, 
& de meme F' 1 ' x -p Q, & quatre autres fondions 
femblables de x, plus quatre confiantes différentes; 
on éliminera F" par une méthode femblable, & 
ainfi de fuite : en effet , quel que foit le nombre des 
fondions F n , pourvu qu’on ait deux" équations , on 
parviendra toujours à éliminer , parce lorfqu’on 
aura chaffé une de fes fondions F n x 4- Q ; par 
exemple , on n aura qu’à mettre x 4 Ç au lieu de x, 
dans l’équation d’où on a chaffé F n x 4. Q, on aura 
une équation contenant F* x 4. Q , F n x 4. Q 4- Q ! 9 
{“x 4 " Q. + Q. &c. & mettant dans celle-ci pour 
F n x -{- Q fa valeur tiree d’une des deux propofées , 
on aura une équation en F n x Q ' F n x 4- O 1 ' 
■fi 71 x -J - .Q -|- Q '' s ^ n r x 4- 2 * Q ' •> F n x -]_ 2 1 Q ", &c, 
donc on aura deux équations qui ne contiendront 
plus F 71 x 4. Q \ on chaffera de même F n x Q • & 
f” x -f 2 Q', & ainfi de fuite ; cela pofé , foit une 
équation définitive de la forme — A, F x 4 ~ B F 
( x 4 a ' ) 4 C F( x 4- û " ) 4 -fi,f(x 4 A ) au 
nombre de qu’on féffe Fx=z Ne on aura 
l’équation A , 4. B , e 1 4. C e f 11 4. D ll \ & Ce 
= 0 ; & il efi clair que l’on aura Z 1 x égal à une férié 
d’autant de termes en N e^ x que f peut avoir de 
valeurs. 
Examinant cette équation , on voit que fi les A 
font tous commenfurables entr’eux, l’équation eft 
comme celles aux différences finies ordinaires ; mais 
fi les a ne font pas commenfurables, alors on ob- 
fervera i°. que fim eff le nombre des fondions, il 
pourra arriver que/aitm - 1 valeurs réelles. En effet, 
fuppofant à fi, m - 1 valeurs réelles à volonté & fub- 
fiituant , on aura les A, B , C , & c , en f; on peut 
de même avoir /s= — f \Z - 1 tant de fois que m ~ ï 
contient d’unités: en effet, en mettant les imagi- 
naires fous la forme a 4- b y/ — 1 } } a première fup- 
pofition donn e A 4- B y/ — 0 ? J a féconde A — 
B \/ — 1 = o ; ce qui ne fait que deux conditions A 
&cB = 0: comme c’eff réellement ef qui entre dans 
l’équation ci-deffus, C étant la valeur de e , on 
aura d’autres valeurs d e/en auffi grand nombre que 
ef — C—o a de racines, c’eft-à-dire, un nombre 
infini. Mais il ne fuit pas de-là qu’il y ait ici un 
nombre infini de termes correfpondans à chaque 
valeur de e ? . En effet, la fuite de toutes ces va- 
leurs ae f efi/,/4- y, f 4 -y \fi-\-y "9 y", 
&c. étant des quantités telles que e y — e 7 '. . . — 1 * 
mais dans le cas de l’équation préfente, en mettant 
ces valeurs pour /, on auroit A , 4- B , e f& e y A 4. 
C , e fi a i e y A 1 , &c. = o , équation qui doit avoir 
lieu en même tems que A, 4. B, efi A 4. C , ef a 1 , 
&c. ce qui demande que e y a , -f e y a i foient égaux 
a 1 unité : or, quoique ey — 1 , quelques valeurs de 
y qu’on ait prifes ; cependant lorfque A , a 1 ne font 
pas des nombres entiers y =z o, eft la feule des va- 
leurs de y pour laquelle e y a foit égal à l’unité ; or, 
ici les quantités A , A 7 étant incommenfurables en- 
tr’elles , on voit que y = o efi la feule valeur qui 
convienne au problème. 
Si l’équation en e f a des racines égales , on aura 
des termes en x dans la férié qui exprimera F. Voyez 
dans cet article le paragraphe précédent. 
D'une autre cia (Je d? équations linéaires aux diffé- 
rences finies & partielles. Soit encore l’équation linéaire 
aZ-^bZ'-^-c Z ,-q.cZ 11 — o , où Z' efi ce 
que devient Z lorfque pour x on a mis x -f A x, Z x 
ce que devient Z lorfque pour y on a mis y 4. A y, 
tk où a f b } c,e 3 &c. font des confiantes , & qu« 
