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nous faffions Z = {A j m -p B y m ~ ï 'x . .i .. .. . 
+ q x m + y m ~ 1 + B' y m ~* x 
+ Q'x"- 1 .... + <2: ) e ^ + ". 
Nous aurons î \ pour déterminer t ; & t * ] a 
même équation que fi la quantité exponentielle 
avoit un coefficient confiant. Nous avons appel- 
lent Fie coefficient de cf x + sy , 
la même férié de termes Ay multipliée 
d v A , 
—t— n A x? q- ■— — ■ m & y 
dx dy J ? 
e 5 eft-à~dlre, la fomme des termes de cette équation, 
multipliés fucceffivement par les expofans de e * 
6ce s i, c’efl-à-dire , cette équation ayant deux ra- 
cines égales. 
3 °. Nous aurons le même terme multiplié par 
ddV „ , ddV 
- — — — n 2 A x 2 . J- — — A y A x m n 
2 .dx* 1 dy dx J 
, , ddV „ 
+ 13F” * 
c’eft-à-dire , l’équation conlidérce par rapport à 
& à e ë , ayant trois racines égales, & ainfide fuite, 
où il eft effentiel d’obferver que c’eft par rapport 
/,oue ? ,& non par rapport à /ou g que les ra- 
cines font égales ; on voit donc que les équations 
quife traitent ici ont un rapport exaél pour cet objet 
avec les équations, linéaires aux différences finies or- 
dinaires. On reconnoîtra par ce moyennes cas où 
la folution en fériés devra contenir des fonctions en 
x 6c y non exponentielles. 
Si l’on vouîoit chercher en férié ou approchée 
de ces équations , lorfqu’elles ne font pas linéaires , 
en ordonnant par rapport à Z , on feroit 
Z — Z Z ' -\-Z" -{• Z &c. Z, Z'Z", &c. 
étant des quantités fuppofées très-petites , dont on 
négligeroit fucceffivement chaque dégré fupérieur. 
Foye{ X article Approximation, dans ce Suppl. 
Des équations linéaires aux différences partielles. Si 
l’équation eft en £ fans x ni y , cas auquel peuvent fe 
réduire toutes les équations dans les méthodes par 
approximation, on fera i = ae bx + ny , on aura a 
arbitraire & b donné par une équation en n ; 6c on 
fera £ égal à une fomme indéfinie de fondions fem- 
blables , fi i ne fe trouve pas dans l’équation , mais 
feulement ~ > ~ ; il faudra ajouter à cette fomme 
f x -j-gy ffi/z, h étant arbitraire de même qu’un des 
f, g. Si on a n donné fans b, 6c b arbitraire , on 
pourra, au lieu des fondions indéfinies ci-deffus , 
faire £= p x-j- ny -\-p' x -{-n 1 y .... n , n' étant les 
différentes valeurs de n. Lorfque n n’eft pas indé- 
pendant àeb 9 m étant l’ordre de l’équation , fi l’équa- 
tion en n a plufieurs racines égales , il faut faire en- 
trer dans l’intégrale des fondions e h ' x + n y a ' -j- 
b' x -f ny> s’il y a deux racines égales, 6c s’il y en a trois 
m une des fondions e. b • x + n y a ' q- b' . x -f- n y q- 
C x — |— tl y •« •» — |— p x — j J— Ti y • 
La méthode que je viens d’expofer ne conduit pas 
à une folution rigoureufe , elle eft la même quant au 
fond , & a les mêmes inconvéniens que celle de 
M. Bernoulli, pour les problèmes des cordes vi- 
brantes ; mais ces défauts dont le principal eft de 
donner à { une forme trop particulière , & de ne pas 
donner £ égal à une fondion quelconque de x , lorf- 
que y~o ou y -- c j peuvent être facilement répa- 
rés toutes les fois que { eft toujours petit 6c qu’on 
fe contente d’approximation. Si dans une équation 
linéaire 6c fans terme où £ ne fe trouve point, les 
coëfficiens font des fondions de x feulement, on 
fera £ = a. e b y + & on aura X par une équation 
aux différences ordinaires ; ce qui conduira toujours 
à une équation en férié femblable à celle que j’ai in- 
diquée pour les cas où les coëffidens font conftans, 
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Voyez l 'art. Différences partielles, ou 
j’indique une méthode de M. Euler qui réfout les 
mêmes cas par une férié auffi infinie , mais d’une 
forme plus générale» 
Il eft aifé de voir xg» que quelle que foit une équa- 
tion linéaire , & d’après quelque fyftême de diffé- 
rentiation qu’elle ait été formée , li les coëfficiens 
font conftans , on pourra toujours , en y fubftituant 
une fondion a e bx+ £ y, avoir une folution du moins 
en férié. z°. Que toutes les fois que l’on a plufieurs 
folutions qui fatisfaffent, leur fomme y Satisfera éga- 
ment, chaque terme étant multiplié pat un coëffi- 
cient arbitraire , fi le terme fans l’inconnue manque 
dans la propofée ; finon la même fomme y fatisfera 
tou jours en multipliant avec un coëfficient arbitraire, 
mais en obfervant qu’il faut que la partie de chaque 
valeur particulière , qui fert à faire difparoître le 
terme fans l’inconnue, & qu’on peut fuppofer auffi 
multipliée par des coëfficiens arbitraires, indépen- 
dans de ceux de l’autre partie de l’intégrale, foit telle 
que la fomme de tous ces coëfficiens arbitraires égale 
l’unité. Ce théorème général a lieu quels que foient 
les coëfficiens de l’équation linéaire. 3 °.Que quelle que 
foit l’équation linéaire , fon intégrale fera toujours , 
fi A , A \ A ", 6cc. font les arbitraires ou les fonc- 
tions des variables que la différentiation a fait dif- 
paroître , de la forme i — A V A' V ’ ^A " F”, 
l étant l’inconnue ; en effet , fi les arbitraires en- 
troient d’une autre maniéré, on ne pourroit les faire 
difparoître 6c avoir ç par une équation linéaire ; 
donc par la même raifon , fi la propofée eft aux 
différences partielles , foit F B une des fondions 
arbitraires , l’intégrale ne pourra être que de la forme 
i = FF B + F'g§-,&ic. ou fV «F B, Sic. (i,) 
LINGEN , comté de , ( Géogr. ) pays proteftant 
d’Allemagne , dans le cercle de Weftphalie , aux 
confins des évêchés de Munfter 6c d’Ofnabruck , 
6c du comté de Tecklenbourg , ayant quatre à cinq 
milles de longueur 6c trois à quatre de largeur , 6c 
appartenant à la maifon de Pruffe , par héritage de 
celle d’Granga , dès la mort du roi Guillaume I1L 
Le fol en eft généralement peu fertile ; mais il y 
a des carrières 6c des mines de charbon , que l’on 
exploite avec fuccès. La population n’en eft pas 
nombreufe; outre les petites villes de Lingen , de 
Vreren 6c d’ibbenbuhren , l’on n’y compte qu’une 
douzaine de paroiflës campagnardes. Cependant on 
affure que de fes domaines proprement dits ,de fes 
taxes ordinaires 6c de fon accife , le roi de Pruffe 
perçoit annuellement un revenu de 80 mille florins 
d’empire. Ce prince fait régir ce comté par un col- 
lege qui préfidant en même tems au pays de Teck- 
lenbourg, les gouverne l’un & l’autre en matières 
de judicature eccléfiaftique 6c civile : en matières de 
police 6c de finance , il les fait reffortir de la cham- 
bre de Minden. ( D. G. ) 
■* LINGERE ,(Arts méchaniques. Commerce. ) Nous 
diviferons tous les ouvrages des lingeres en quatre 
parties , d’après M. de Garfault qui a publié une 
excellente defeription de l 'Art de la Lingere ; favoir 
les pièces de trouffeau , celles de la layette, plufieurs 
pièces de lingerie qui ne font point comprifes dans 
le trouffeau , ni dans la layqfte ; enfin le linge d’é- 
glife. Mais avant que d’en venir à la defeription de 
toutes ces différentes pièces , il eft à propos de la 
faire précéder de quelques connoiffances préliminai- 
res fur cet art , concernant la couture en ufage dans 
la lingerie, foit pour les toiles , foit pour les den- 
telles. Les différens points de couture font : 
Le furget , qui affemble les toiles par les bords. 
Le point de coté , qui fixe les remplis des bords. 
\d arriéré- point , qui affemble les toiles à plat. 
Le point-devant 3 idem ^ à plat, 
La 
