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taead. des fciences, pour l’année 1767 , une méthode 
qui lui eft propre, & qui partage avec ceile de M. Eu- 
ler, l’avantage de donner les formules pour les équa- 
tions aux différences finies. M. Euler a réfolu les 
mêmes problèmes que M. delà Grange, par une 
nouvelle méthode analytique. Enfin, MM. Fontaine 
de de la Place ont donné des formules pour le 
même problème ; mais leurs méthodes n’ont en elles- 
mêmes rien de particulier. J’ai fait de mon côté plu- 
fieurs remarques fur cette matière, dans mes diffé- 
rons e fiais fur le calcul intégral. 
Je vais donner ici l’efprit de la méthode de M, de 
la Grange , le détail feroit déplacé dans un ouvrage 
comme celui-ci : 
î°. Soit fZ une fonftion qui doit être un maxi- 
mum ou un minimum , Z étant fonââon de x , y, 1 , 
d x , d y, di , &c. & aucune différentielle n’étant 
fuppofée confiante. On aura à caufe de la propriété 
du maximum 
d/ Z 
— o 
d/Z __ d/Z 
&c. 
d * w ? d dx ’ d d."- x 
& de même pour chaque variable. Il ne faut donc 
plus que trouver ces valeurs, loit B = / Z, d B = 
df Z à Z , ou d d B —àZ. Si cela pofé, on 
cherche les valeurs de 
d b d B 
&c. on les trou- 
d x ^ d d x } 
vera au moyen des équations luivantes , 
d- 8 1 d - àB ./EL 
à x "P d dx à dx 
d B , d. dB _ dZ 
~d~dx ”» d d*x d d 2 x 
& ainfi de fuite , il en fera de même pour chaque 
variable ; on aura donc les valeurs cherchées : mais 
ces valeurs ne peuvent être données par cette ma- 
niéré , à moins qu’un terme fFd x F ' d y, &c. 
qui refie fous le fignë après la comparaifon de d B 
avec fd Z , ne foit nul, & il doit l’être en général 
quelles que foient les variables ; donc on aura entre 
elles les équations F =0, F'_~ o, &c. or , 
dZ ddB 
V- 
dx 
dàZ 
d y 
d x ; 
ddB 
dy 
&C. 
donc on aura , en égalant à zéro ces formules qui 
font données , les équations générales du maximum , 
& les équations aufîi données ~ = 0 » ~ , &c. 
en donneront les conditions particulières. 
2°. Si Z contenoit /Z on auroit dans la diffé- 
rence de Z un terme de la forme L d/Z or , par 
l’article précédent , on aura d/Z' en différences de 
Z', de un terme de la forme fP dx, pour chaque 
variable. Il y aura donc dans la for mule qui refie 
fous le figne un terme / L fP dx = S HyfL P dx. 
2°. Si Z eft donné par une équation différentielle 
F= o , on fera d V— o , fA d F — B , f A • B 222 
B', jufqu’à ce qu’on ait la valeur de dZ qui doit être 
égalée à zéro ; or , à chaque intégration on aura 
une équation pour déterminer A , A ' , &c. de la for- 
mule qui devient égale à zéro en même tems que 
d Z , rentre dans l’article précédent. 
4 0 . Les équations entre les variables étant en 
même nombre qu’elles , fi aucune différentielle n’eft 
fuppofée confiante , on trouvera que fi la propofée 
eft telle que Z étant du premier dégré d’infiniment 
petits , il ne contienne que des différences de ? 
&c. multipliées par d x , le nombre des équations fe 
réduira toujours à une de moins, & qu’ainfi on aura 
définitivement une équation poffible entre deux va- 
riables quelconques. Dans les autres cas, il y aura 
définitivement une équation différentielle à une feule 
variable ; alors ce problème a été mal propofé , & il 
y aura dans la folution une nouvelle variable dont 
la différence eft confiante , & multiplie quelquefois 
Z pour que / Z foit fini ; & il faudra déterminer 
cette variable par les conditions du problème , fans 
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quoi il refteroit indéterminé. Voyez îà-deffiis les 
recherches de M. de la Grange & de M. de la Place. 
Le problème peut encore refter indéterminé, lorf- 
que dans des cas particuliers le nombre des équations 
fe trouve diminué, ou qu’en intégrant celles qui 
refient entre deux variables on en introduit une troi- 
fieme. 
5°. Si l’on a une équation entre les d x , dy, d ^ 
<kc. en fuivant les réglés ordinaires pour la recher-!, 
che du maximum , on éliminera une de ces différences 
dans la valeur de d f Z , de on égalera à zéro les 
coëfficiens des autres. 
6°. Si c’efi entre £ ,y, x , d £, dy, dx , dec. qu’on 
a une équation , on cherchera par l’article premier 
une équation entre dç, dy, dx, de on la fubftituera 
pour éliminer une de ces différences de la formule 
Ô 1 ^ d ? -f- B dy -}- C d x . . . = o. 
7 0 . Si au lieu de fuppofer dç, dy, dx, indépen- 
dans les uns des autres ou donnés par une équation 
connue , on fe contentoit de fuppofer qu’ils euffent 
entr’eux la relation qui doit naître des équations du 
problème , on trouvera que faifant A'd^-yB ! dy-\- 
C' d x xz o , on aura A B — o , A~ — C =2 o ÿ 
de à caufe de A ' d £ + B 1 dy + C d { 222 o, d^ -f ~ 
d y dr ~ d x—o. 
8°. Si Z contenoit $ étant une fon&ion inconnue 
de x ,y, 1, on auroit pour <t> une équation aux diffé- 
rences partielles. 
9 0 . La partie des coëfficiens de d x qui n’eft pas 
fous le figne /, de les coëfficiens de d dx, dec. ne font 
nuis que pour les points extrêmes de l’intégrale /Z. 
Ainfi , lorfque pour ce point on a des équations entre 
les d x , d d x , dec. dy, d dy, dec. il faut , comme dans 
l’article cinq , éliminer autant de ces différences qu’on 
a de conditions. Le problème feroit toujours poffible 
indépendamment de ces conditions , parce que les 
coëfficiens font toujours en moindre nombre que les 
arbitraires de l’intégrale définitive. Il y a quelque dif- 
férence dans la maniéré dont M. de la Grange de 
M. le chevalier Borda traitent les équations de ces 
points extrêmes ; mais cette différence eft moins 
dans le fonds de la méthode que dans la maniera 
de confidérer les queftions propofées : auffi lorfque 
ces deux géomètres appliquent chacun leur mé- 
thode à la brachiftochrone dont les points extrêmes 
appartiennent à deux furfaces données , les réfulrats 
ne font différens que parce que l’un fuppofe nulle 
au commencement de la brachiftochrone la vîteffe 
que l’autre y fuppofe finie. 
io°. Pour expliquer la méthode de l’article pré- 
cédent aux fondions qui contiennent des différences 
finies , foit 2 Z un maximum , on aura —f— 222 o , 
7 ' d* s 
-L? L- — o , de ainfi de fuite; de pour chaque va- 
riable, on fera enfuite x Z = B , A B 2=2 Z , d a B 2=2 
d Z , & on trouvera ~~ = a + Q, Q étant la 
différence de A B prife en ne regardant comme va- 
riable que les A * introduits par la différentiation ; 
or , faifant A B = B A B — B , il eft clair que Q = 
d. 
B + A B 
d x 
, d’oîl 
d Z 
d A x 
22 z A 
d Aï 
+ é. 
B + AB 
dx 
& 
ainfi de fuite. Par ce moyen , on trouvera les valeurs 
cherchées de ,&c. & on égalera à zéro la 
quantité qui dans la comparaifon de A B avec 2 A Z 
fera reftée fous le figne , & qui eft ~ — A ! 
pour la variable x, & de même pour chacune des 
autres ; le refte comme pour les différences infini- 
ment petites. Voyez le deuxieme appendice deM.de 
la Grange, 6 c les Mémoires de T académie , pour l’année 
1770. 
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