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grand 9 continue M. Bernoulli? on lui oteroit une 
grande partie de Ton utilité : car iuppofons fon rayon 
de 1 500 parties au lieu de 1000 ? toutes choies éga- 
les d’ailleurs , il faudra changer les 1500, 900 &C 
1200 parties qu’on avoit précédemment en 1000, 
600 &c 800 parties plus grandes de moitié. La fécondé 
corre&ion b C deviendra de près de 481 parties, & 
il faudra s’y tenir , parce qu’on n’en trouvera jamais 
une plus grande : or , ces 48 1 parties ne valent que 
721 parties, dans la fuppolition précédente. Àinfi la 
comparaifon de ces deux exemples fait voir com- 
bien il importe que chaque oblervateur fâche ap- 
précier fa dextérité. 
Je viens d’indiquer la fubftance du mémoire de 
M. Daniel Bernoulli, je paffe au fécond mémoire 
dont j’ai dit que je donnerais un extrait; il eil de 
M. de la Grange, & a pour titre : Mémoire fur Futi- 
lité de la méthode de prendre le milieu entre le refultatde 
plujieurs obfervations , dans lequel on examine les avan- 
tages de cette méthode par le calcul des probabilités , & 
ou Fon réfoud différens problèmes relatifs à cette matière . 
On verra que les dix problèmes qui en font l’objet 
comprennent tout ce qu’on peut attendre de l’analyfe 
la plus délicate & la plus variée dans cette matière. 
Voici d'abord le premier problème que M. de la 
Grange fe propofe : on fuppofe que dans chaque 
oblervation on peut fe tromper d’une unité , tant en 
plus qu’en moins , mais que le nombre des cas qui 
peuvent donner un réfultat exaél, eft au nombre des 
cas qui peuvent donner une erreur d’une unité comme 
a: ib ; on demande quelle eft la probabilité d’avoir 
un réfultat exaâ:, en prenant le milieu entre les ré- 
fultats particuliers d’un nombre n d’obfervations } 
La folution de ce problème donne pour 
[a + zbp 
la probabilité cherchée , & M. de la Grange fait voir 
qu’on peut déterminer en plus d’une maniéré le coef- 
ficient A , qu’il trouve z=.a n n {n — i')a n ~ 2 b -}- 
j n\n -1] [71--2] [ n - 3] a 4 b 4 , w [w-l] [-2] .... [ft-5] a” 6 
2. 2 * 2. 3. 2. 3. *"*" 
&c. ïl tire enfuite de fa folution différens corollaires, 
& il détermine dans une première remarque la loi 
que fuivent les termes de la férié j-, ~, » & c - 
lefquels repréfentent les probabilités qui répondent 
à 1 , 2, 3 , &c. obfervations ; cette loi fe découvre 
par les expreflïons qui fuivent, & dans lefquelles 
A 1 , A 11 , A m , &c. défignent les valeurs de^ 1 qui 
répondent à n— 1,2,3, on a 
A j —a 
* _ (L A ^ — * CL ^ 
— . J ., ! — 
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937 
A m = 
5 a A " + 2 [4 b a — a A ’ 
IY 
— 7 
3 
+ 3 [4* 
-a*] A" 
&C. 
Quelques autres remarques pareillement impor- 
tantes fuivent la première, & conduifent M. de la 
Grange à chercher dans le problème fuivant la pro- 
babilité qu’en prenant le milieu entre les réfultats de 
n obfervations , l’erreur ne furpaffera pas la fraÛion 
IL, m étant < n. 
n M. de la Grange confidere ici qu’en prenant le 
milieu entre le réfultat de n obfervations , l’erreur 
peut être ou 0 , ou^,ou^,ou^-, & c . jufqu’à 
±L favoir — ; qu’ainfi la probabilité que l’erreur 
n 9 
ne foit pas plus grande que ~ , fera la fomme des 
probabilités que l’erreur fera nulle , oui 1 , ou 
ü, &c. jufqu’à , & en conféquence il cherche 
d’abord quelle eft la probabilité que l’erreur fera 
2 M \ 1 M n 
Il la trouve =. ou M eft exprimé par 
Tome ///• 
ti \n — x] ... \ti — //,■+■ îj n — y. . <« . (i ■ 
- — — - a b “fi — 
■ 2 t n. [« — î] ... n 
— i 
1. 2 
1. 2 
a <“+2^ Q-m] [^ + s 1 ”[ ?z ~i]---[«-^- 3] 
I* 2. I» 2 -fi* 4 
&c. 
ïl exprime enfuite la même probabilité par une 
férié , 8c tire de ces réfultats un grand nombre d’in- 
dudions curieufes ; il prouve, par exemple, qu’il 
eft plus avantageux de ne prendre le milieu qu’entre 
un nombre pair d’obfervations. 
M. de la Grange indique auffi dans une fcolie les 
cbangemens que demanderoient les deux folutions 
précédentes : ft , au lieu de fuppofer un nombre égal 
de cas pour avoir une erreur pofttive & une erreur 
négative, on admettoit Thypothefe qu’il confidere 
après cela plus généralement dans le problème III, 
dont voici l’énoncé. 
Suppofant que chaque obfervation foit fujette à 
une erreur d’une unité en moins 8c à une erreur de r 
unités en pins , 8c que le nombre des cas qui peu- 
vent donner 0 , — 1 , + r d’erreur foit refpedive- 
ment a, b , c, on demande quelle eft la probabilité 
que l’erreur moyenne de plufieurs obfervations fera 
renfermée dans des limites données ? 
Solution. Soit n le nombre des obfervations dont 
on veut prendre le milieu , on aura pour la probabi- 
lité que l’erreur moyenne foit -L la quantité — - — 
& la probabilité que l’erreur moyenne fera renfermée 
entre ces limites — -, + -L fera exprimée par la férié 
[- P + 1] + CfC. •+• [ — 1 ] + [o] + [l] + &C. -I- [y— 1] 
n 
[a + b + c] 
Problème 1F. Suppofant tout comme dans le pro- 
blème précédent, on demande quelle eft l’erreur 
moyenne pour laquelle la probabilité eft la plus 
grande ? 
Solution. Cette probabilité s’exprime par— L'A-, 
4 1 a+b+C} 
8c on peut regarder cette quantité comme l’erreur 
du réfultat moyen , 8c par conféquent la prendre 
pour la corre&ion de ce réfultat. 
Problème V. On fuppofe que chaque obfervation 
foit fujette à des erreurs quelconques données , 8c 
qu’on connoifte en même tems le nombre des cas 
oii chaque erreur peut avoir lieu , on demande la 
correâion qu’il faudra faire au réfultat moyen de 
plufieurs obfervations ? 
Solution. Soient 8cc. les erreurs aux- 
quelles chaque obfervation eft fujette, & a, b, c,d , 
8c c. les cas qui peuvent donner ces erreurs ; favoir, 
a le nombre des cas qui donneroient l’erreur p , 
b le nombre des cas qui donneroient l’erreur q , 8c 
ainfi des autres , la correéfion qu’on cherche fera = 
ap + bq + cr + & -c. 
a + b + c + &c. 
M. de la Grange ne manque pas , non plus que 
les autres géomètres qui ont traité cette matière , de 
ramener aufli la folution de ce problème à la déter- 
mination du centre de gravité d’un certain nombre 
de poids. Voici deux corollaires qu’il en tire. 
Corolaire premier. Si on regarde , dit- il , les quan- 
tités a , b , c, &c. comme des poids appliqués à une 
droite indéfinie à des diftances égales à.p , q , r, &c. 
d’un point fixe pris dans cette droite , & qu’on cher- 
che le centre de gravité de ces poids , la diftance de 
ce centre au point fixe fera la correûion qu’il faudra 
faire au réfultat moyen de plufieurs obfervations; 
cela fuit évidemment de la formule que nous avons 
trouvée plus haut pour la valeur de cette cor- 
re&ion. 
Corollaire fécond. Donc ft on fuppofe que chaque 
obfervation foit fujette à toutes les erreurs poflibles 
qui peuvent être comprifes entre des limites don- 
nées , & qu’on connoiffe la courbe de la facilité des 
G CCcc c 
