BIBLIOGRAPHIE. 
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doctrine homogène dont tontes les parties se tiennent par un 
lien logique, tel est le programme que s’est posé M. Darboux et 
qu’il a su réaliser avec la supériorité de vue, la sûreté de méthode 
et, surtout, l’incomparable clarté qui se retrouvent dans toutes 
ses publications. On peut dire, sans exagération, qu’en mettant 
au point pour un exposé didactique les recherches des autres, il 
les fait véritablement siennes et que son livre, jusque dans les 
moindres détails, porte sa marque personnelle. 
La détermination simultanée de trois familles de surfaces for- 
mant un système orthogonal se ramène à trois équations aux déri- 
vées partielles du premier ordre, non intégrables, nous l’avons 
dit, dans le cas général, mais dont la solution dépend, comme 
permet de le faire voir un théorème de Cauchy, de trois fonctions 
arbitraires de deux variables. 
Il est très remarquable, ainsi que Bonnet l’avait reconnu dès 
1S62 et que M. Darboux lui-même l’a établi d’une façon toute 
différente et plus complète dans sa thèse de doctorat, que l’on 
peut substituer à cette intégration d’un système de trois équa- 
tions aux dérivées partielles du premier ordre, celle d’une équa- 
tion du troisième à laquelle doit satisfaire le paramètre d’une 
quelconque des trois familles du système, et que Cayley a déve- 
loppée pour la première fois. On est ainsi à même de reconnaître 
qu’une famille quelconque de surfaces n’est pas susceptible de 
faire partie d’un système orthogonal. Lorsqu’il en est ainsi, 
M. Darboux propose que cette famille de surfaces soit dite 
de Lamé , pour rappeler les immortels travaux du grand géomètre 
dans cette partie de la science. 
La transformation analytique qui conduit à l’équation du troi- 
sième ordre, donne, chemin faisant, le théorème de Dupin. 
Après ces généralités, la première catégorie spéciale de sys- 
tèmes orthogonaux envisagée par l’auteur, est constituée par 
ceux qui comprennent une famille de plans ou une famille de 
sphères, d’ailleurs quelconque. 
Pour les premiers, M. Darboux, après un examen géométrique 
de la question, montre, par une analyse élégante, qu’elle se résout 
complètement au moyen de trois quadratures. Pour les seconds, 
une notion féconde, celle des familles similaires, permet de 
réduire le problème au cas où toutes les sphères passent par un 
même point et, par suite, grâce à une inversion faite de ce point 
comme pôle, au problème précédent. Mais l’auteur ne se borne 
pas à cela ; il montre encore comment, pour une famille de 
sphères donnée, on peut effectivement déterminer le système, et 
