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transporte ensuite ces résultats dans un espace à un nombre 
quelconque de dimensions, et cela sans aucun signe d’intégration 
et sans introduire des imaginaires comme l’avait fait O. Bonnet. 
Avant de poursuivre l’étude générale de l’équation du troi- 
sième ordre qui domine cette théorie, M. Darboux envisage 
encore certaines de ses solutions particulières qui conduisent à 
de curieuses conséquences, notamment à un mode remarquable 
de génération d’une famille de Lamé comprenant une surface 
quelconque, qui est dû à Ribaucour et qui conduit à une méthode 
de transformation des surfaces avec conservation des lignes de 
courbure. Ce mode de génération donne naissance en particulier 
à des systèmes triples orthogonaux exclusivement formés de 
cyclides de Dupin, dont M. William Roberts avait fait connaître 
un cas spécial très intéressant, que l’auteur traite par la pure 
géométrie. 
A propos de cette transformation, et en vue d’éclairer la suite 
de la discussion, M. Darboux est amené à déterminer, d’après 
M. Lie, toutes les transformations de contact qui conservent les 
lignes de courbure, pour revenir ensuite à l’étude des solutions 
particulières de l’équation du troisième ordre envisagées dans 
ce chapitre et faire voir quelle est la propriété caractéristique du 
type de famille de Lamé correspondant le plus général. 
Cet examen détaillé d'applications particulières ayant préparé 
les voies à une étude plus approfondie du cas général, M. Dar- 
boux reprend l’équation du troisième ordre fondamentale pour 
indiquer les formes diverses qu’on peut lui faire revêtir. Le pre- 
mier résultat capital qui se rencontre dans cette étude est encore 
dû à Ribaucour. Après l’avoir établi géométriquement, l'auteur 
en développe plusieurs curieuses conséquences. Il fait connaître 
ensuite la transformation remarquable de l’équation du troisième 
ordre, due à M. Maurice Lévy, et l’applique à la détermination 
des surfaces invariables de forme qui peuvent, en se déplaçant, 
engendrer une famille de Lamé. M. Petot a, d'ailleurs, donné au 
caractère géométrique de ces surfaces une forme d’une grande 
élégance. 
M. Darboux indique enfin la manière de former l’équation 
quand la famille est déterminée par une équation implicite, pour 
en déduire, dans le chapitre suivant, la recherche des familles de 
Lamé formées avec des quadriques. Après avoir établi la rela- 
tion différentielle, due à M. Maurice Lévy, entre les axes des 
quadriques à centre unique qui font partie d’une même famille 
de Lamé, il reproduit l’interprétation géométrique qu’en a don- 
