KARL XYE1ERSTRASS. 
5 94 
ristique, c’est l’établissement « d'une théorie complète, 
définitive et maintenant classique » (1) des fonctions ana- 
lytiques. 
Cette théorie n’avait été qu’ébauchée par Cauchy, qui 
l’avait d’ailleurs abordée par la voie détournée du calcul 
intégral. Weierstrass s’y attaque directement, prenant 
comme unique point de départ la propriété qu’ont les 
fonctions analytiques d’être développables en séries de 
Taylor. Cette méthode entraîne des longueurs pour l’éta- 
blissement de certaines propriétés, comme le théorème 
fondamental qui porte le nom de Laurent et qui, pour 
Cauchy, est intuitif. Mais, en n’introduisant aucun élément 
parasite, tel que ceux que Cauchy emprunte au calcul 
intégral, elle va plus au fond des choses et conduit à des 
notions de la plus haute importance, à celle notamment 
du prolongement analytique que, le premier, Weierstrass 
a admirablement élucidée, et sur laquelle nous nous arrê- 
terons quelques instants. 
Quand on connaît une fonction analytique dans un 
domaine D, si petit qu’il soit, et qui peut se réduire à un 
simple élément de ligne, on peut sans ambiguité la pro- 
longer analytiquement le long d’un chemin C quelconque 
issu d’une origine contenue dans D, en ayant recours à 
une succession de séries de Taylor, à moins qu’on ne 
rencontre sur le chemin C un point A qui soit un point 
singulier de la fonction, c’est-à-dire un point autour 
duquel la fonction no soit pas développable en séries do 
Taylor. Si, conservant la mémo origine, on fait varier 
d'une façon continue le chemin C en marquant, pour chaque 
position de ce chemin, le premier point singulier A qu’on 
y rencontre à partir de l’origine, il peut se faire que ce 
point A engendre une ligne ; il peut aussi se faire que 
cette ligne soit formée et entoure complètement le do- 
nt Itcnmlc, Notice sur Weierstrass (Comptes rendus de i.'Acaoémie des 
Sciences, m mars 1807; T. CXXIY, p. 400). 
