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maine D. Dans ce dernier cas, la fonction considérée 
ri existe qu’à l’intérieur de cette ligne singulière essentielle 
qui limite, en quelque sorte, le domaine naturel de la 
fonction. C’est là une idée profonde que Weierstrass, le 
premier, a mise en pleine lumière. Il a donné des exemples 
de fonctions analytiques n’existant qu’à l’intérieur d’un 
cercle et non prolongeâmes au-delà. Il a donné également 
des exemples d 'expressions analytiques , de séries notam- 
ment, représentant dans une certaine aire une fonction 
analytique, d’ailleurs prolongeable au-delà, et dans une 
autre aire une fonction toute différente. De cette étude, il 
a lumineusement fait ressortir la distinction entre la 
fonction analytique , nettement définie dans tout son do- 
maine d’existence dès qu’on la connaît pour un élément 
de ce domaine, et les diverses expressions analytiques 
(séries, intégrales définies, etc.) qu’on peut lui donner et 
qui, représentant la fonction dans une certaine aire seule- 
ment, peuvent représenter autre chose ou même ne rien 
représenter du tout en dehors de cette aire. 
C’est assurément là une des conquêtes fondamentales 
de Weierstrass. La notion de prolongement analytique 
joue un rôle essentiel dans les travaux de M. Schwarz sur 
la représentation conforme, dans ceux de M. Félix Klein 
sur les fonctions modulaires, ainsi que dans diverses 
parties de l’œuvre de M. Poincaré. 
Conduit par sa méthode même à l’étude d’une fonction 
analytique uni forme (monodrome ou à une seule détermina- 
tion) dans le domaine d’un point singulier isolé , Weierstrass 
établit l’admirable distinction entre les pôles, ou la fonc- 
tion devient infinie comme une fonction rationnelle, et les 
points essentiellement singuliers ou points essentiels, où la 
fonction est complètement indéterminée, c’est-à-dire dans 
le voisinage desquels la fonction peut s’approcher autant 
qu’on le veut de toute valeur donnée. Dans le premier 
cas, si a est l’affixe du point singulier, la série de Laurent 
relative au point a ne renferme qu’un nombre fini de 
